Tianfu Math Lab
竞赛数学
从一道好题开始，训练真正的数学思维——每日一道美赛真题、四大模块地图、每周一题与进阶路线，不制造焦虑，只搭台阶。
地球生态健康的临界点
The Health of the Planet's Ecosystems
如何度量地球生态系统的整体「健康」？请建立一个全球生态健康的网络化模型，识别可能的崩溃临界点，并预警关键风险因素。
💡 看点
给整个地球做体检——多要素耦合与临界现象建模。
🧭 建模思路要点（先想再看）
把气候、生物多样性、水土等要素建成耦合网络，用系统状态指标 + 网络鲁棒性刻画健康；借分岔 / 临界慢化（critical slowing down）识别崩溃临界点并做预警。
Bank · 美赛真题库
MCM/ICM 数学建模真题库
精选 30 道美国大学生数学建模竞赛（MCM/ICM）真题，源自《美国大学生数学建模竞赛题解析与研究》第 1–7 辑。 按赛种 / 年份 / 类别筛选，选中任意一题即可一键进入制图工作室，AI 解读看点、导出海报转发。
共 30 道真题
温水澡缸
A Hot Bath
泡澡时热水会渐渐变凉，人们不断加入热水以维持温度。请建立模型，给出加水的策略（时机、水温、流量），在保持全缸温度尽量均匀恒定的同时最省水。
🧭 建模思路要点
用带对流项的热传导方程刻画缸内温度场与散热，把加水建成源项；以温度均匀且维持在目标附近为目标、耗水为约束，求最优加水策略并讨论搅动的影响。
太空垃圾清理
Space Junk
近地轨道上的太空垃圾日益威胁航天安全。请建立模型评估清理太空垃圾的商业机会与可行方案，权衡技术、成本与收益，给出商业策略建议。
🧭 建模思路要点
对碎片按轨道—尺寸分布建风险模型，评估碰撞概率；将清理方案建成「技术能力 × 成本 × 收益（服务费/保险）」的商业模型，做投资回报与情景敏感性分析。
用网络衡量影响力
Using Networks to Measure Influence and Impact
如何用引用 / 合作网络衡量学者或论文的影响力？请建立网络模型，比较不同影响力度量，并推广到评价一个学科的整体影响与演化。
🧭 建模思路要点
以引用 / 合作建有向网络，用 PageRank、特征向量中心性等度量影响力并对比；引入时间演化与跨领域归一，评估学科整体影响，做稳健性与操纵性分析。
靠右行驶规则的评价
The Keep-Right-Except-To-Pass Rule
在靠右行驶的国家，多车道公路常用「除超车外靠右行驶」规则。请建立模型评估该规则在不同流量下对安全与通行效率的影响，并讨论无人驾驶接管后规则是否仍需保留。
🧭 建模思路要点
用元胞自动机 / 跟驰模型仿真多车道换道行为，把规则建成换道决策约束；以流量—速度关系、事故风险替代指标评估效果，并推演智能网联车下的策略。
史上最佳教练
College Coaching Legends
请建立模型，从过去一个世纪的数据中评选各项目的「史上最佳大学教练」，需考虑跨时代可比性、性别与项目差异，并给出前五名。
🧭 建模思路要点
构建含胜率、生涯长度、夺冠、对手强度的指标体系，用时代标准化（Z 分 / 分位）消除年代差异，加权综合或用 Elo/Colley 类排名得到跨代可比排序。
地球生态健康的临界点
The Health of the Planet's Ecosystems
如何度量地球生态系统的整体「健康」？请建立一个全球生态健康的网络化模型，识别可能的崩溃临界点，并预警关键风险因素。
🧭 建模思路要点
把气候、生物多样性、水土等要素建成耦合网络，用系统状态指标 + 网络鲁棒性刻画健康；借分岔 / 临界慢化（critical slowing down）识别崩溃临界点并做预警。
最佳巧克力蛋糕烤盘
The Ultimate Brownie Pan
矩形烤盘四角受热过度，圆形烤盘受热均匀却浪费烤箱空间。请建立模型，研究烤盘形状（从矩形到圆形）对热量分布的影响，在「受热均匀」与「烤箱利用率」间寻优。
🧭 建模思路要点
用二维热传导方程求不同边界形状下的温度分布，量化「边角过热」；把形状参数化（如圆角矩形的圆角半径），对「均匀度」与「排布利用率」做双目标权衡。
淡水资源的调配
Water, Water, Everywhere
预计到 2025 年许多国家将面临缺水。请为某个缺水国家建立水资源战略模型，涵盖调水、海水淡化、节水、循环利用等措施，给出可实施的五年规划。
🧭 建模思路要点
构建供需平衡的系统动力学模型，把各措施建成带成本、产能、时滞的调节手段；以缺口最小、成本可承受为目标做多阶段优化，产出分区分年的规划方案。
抓捕罪犯（共谋网络识别）
Modeling for Crime Busting
在一个公司的通讯网络中，已知部分人涉嫌共谋犯罪。请建立模型，根据通讯记录与已知信息，识别最可能的共谋者并排序，辅助锁定犯罪团伙。
🧭 建模思路要点
以通讯建社会网络，融合消息主题、已知嫌疑标签，用半监督标签传播 / 中心性 + 贝叶斯打分给节点排「涉案概率」；结合社区发现划分团伙并做鲁棒性检验。
一棵树的叶子
The Leaves of a Tree
一棵树的叶子有多重？叶形与树的形态、分枝结构有何关系？请建立模型描述叶子的分布与总质量，并探讨叶形与分枝结构、光照的联系。
🧭 建模思路要点
先界定「叶重」估计路径：单叶面积—质量关系 × 叶片数量（分形 / 异速生长估计冠层）；用分枝分形与光照遮挡解释叶形差异，给出可验证的估算与误差讨论。
大长河露营调度
Camping along the Big Long River
一条河上有若干营地，漂流队伍行程 6–18 天不等，希望彼此尽量不相遇。请建立模型，安排出发时间表与营地分配，在整个漂流季中最大化可接待的队伍数。
🧭 建模思路要点
将河程离散为营地节点、时间离散为天，建立「队伍—营地—时间」占用模型；以相遇次数为约束、接待量为目标，用整数规划 / 仿真调度求出发间隔与配额。
电动汽车的未来
How Environmentally and Economically Sound Are Electric Vehicles?
电动汽车在环境与经济上究竟是否划算？请建立模型，综合评估其全生命周期的能耗、排放与成本，并对政府推广政策给出建议。
🧭 建模思路要点
做全生命周期（制造—用电—电网结构—报废）能耗与碳排核算，与燃油车对比；耦合电网发电结构情景与经济成本，做多准则评价与政策情景敏感性分析。
单板滑雪场地设计
Snowboard Course
请为单板滑雪运动员设计半管（half-pipe）赛道的形状，使其能获得最大的「垂直腾空高度」，并兼顾空中转体动作的完成，讨论目标之间的取舍。
🧭 建模思路要点
以能量守恒 + 沿管壁运动的动力学刻画出管速度与腾空高度，把管壁曲线（半径、坡角）参数化为决策变量；在安全与可行约束下最优化腾空高度，做多目标权衡。
无线电中继器协调
Repeater Coordination
无线电中继器可扩大通信范围，但同区域内过多中继器会相互干扰。请建立模型，确定在给定区域与用户量下，所需中继器的最少数量及其频率分配方案。
🧭 建模思路要点
将中继器覆盖与干扰关系建成图，频率分配转化为图着色 / 频率指派问题；以满足容量为约束、最少中继器与频点为目标，用着色启发式求解并考虑山地遮挡。
棒球棒的「甜蜜点」
The Sweet Spot
棒球棒上存在一个击球最有效的「甜蜜点」。请建立模型解释它为何不在棒的末端，并讨论用软木填充、以及木棒与铝棒材质对甜蜜点的影响。
🧭 建模思路要点
把球棒当作振动梁（Euler–Bernoulli），求其振型与节点；甜蜜点对应振动节点与碰撞恢复系数最优处，结合动量—能量传递分析材质与填充的作用。
犯罪地理画像
Criminology / Geographic Profiling
连环罪犯的作案地点往往围绕其活动中心分布。请建立模型，根据一系列已知案发地点，预测罪犯可能的居住 / 落脚地，为侦查提供优先搜索区域。
🧭 建模思路要点
以案发点为观测，建立居住地的空间概率密度（距离衰减核 + 缓冲区），用重心 / 核密度与贝叶斯更新给出热点图；对比多模型的命中率评估可靠性。
交通环岛设计
Designing a Traffic Circle
请建立模型，为交通环岛（roundabout）确定最优的交通控制方式——是用让行标志、交通灯，还是其他方式，使车流通行效率最高、拥堵最小。
🧭 建模思路要点
用跟驰 / 元胞交通流模型仿真环岛通行，把控制策略（让行、定时灯、感应灯）作为变量；以通行能力、平均延误为目标，对不同流量情景寻优。
手机与能源
Energy and the Cell Phone
若某国全面用手机取代固定电话，会对能源消耗产生什么影响？请建立模型，评估手机普及、充电与制造的能源足迹，并做长期预测。
🧭 建模思路要点
自底向上核算单机制造 + 使用 + 充电能耗，乘以保有量与更换周期；与固话基础设施能耗对比，用增长模型（Logistic）预测普及曲线下的总能耗轨迹。
医疗保健系统评估
Finding the Good in Health Care Systems
如何评价一个国家医疗保健系统的优劣？请建立一套指标体系与模型，比较不同国家的医疗系统，并为改进提出建议。
🧭 建模思路要点
构建覆盖可及性、质量、公平、成本、健康产出的多指标体系；用主成分 / 熵权确定权重，TOPSIS 或综合评分排序，做国家横向对比与敏感性分析。
海平面上升（洗个澡）
Take a Bath
若北极冰盖完全融化，海平面将上升多少？请建立模型估计其对佛罗里达州等地区的淹没影响，并分析融化速度对沿海的威胁。
🧭 建模思路要点
区分「海上浮冰（阿基米德原理，不改变海平面）」与「陆地冰盖（格陵兰）」，用冰体积 / 海洋面积估算平均上升高度；再叠加沿海高程 DEM 得到淹没范围与人口影响。
数独谜题生成问题
Creating Sudoku Puzzles
请设计一个算法来生成数独谜题，能够构造出不同难度等级的谜题，并给出一个可量化的「难度」度量标准。
🧭 建模思路要点
以约束满足 / 回溯生成有唯一解的终盘并挖空；难度用「求解所需推理技巧的层级 + 搜索回溯次数」量化，通过控制挖空策略产出分级谜题。
肾脏移植配对问题
Organ Transplant / Kidney Exchange
美国肾脏移植等待名单庞大而供体稀缺。请建立模型，设计一个全国性的肾脏交换 / 分配网络，在公平与效率间权衡，最大化成功移植数量。
🧭 建模思路要点
把「供受体相容」建成图，配对交换转化为图的最大匹配 / 最大权环覆盖问题；引入相容概率、公平约束（等待时间、血型稀缺性）做多目标优化。
选区划分问题（反杰利蝾螈）
Gerrymandering
为消除人为操纵选区（Gerrymandering），请设计一种「尽可能简单公正」的选区划分方法，把一个州划分为若干人口相等、形状合理的选区，并以某州为例给出方案。
🧭 建模思路要点
将州网格化为单元，建立「人口均衡 + 紧凑度（形状规整）+ 连通」的多目标划分模型；可用分区聚类、图分割或短边界法求解，并定义紧凑度指标做客观评价。
飞机就座问题
Airplane Boarding
随着飞机变大，乘客登机耗时越来越长。请建立模型比较不同登机顺序（从后往前、按列、随机等）的效率，并提出一种更快的登机方案。
🧭 建模思路要点
用基于个体（agent-based）的元胞 / 排队仿真刻画乘客走动、放行李、互相阻塞的过程；以总登机时间为指标，对多种策略做蒙特卡罗对比，找出阻塞最少的顺序。
艾滋病毒防控资源分配
Trade-offs in the Fight Against HIV/AIDS
在有限的防治资金下，如何在预防、治疗、教育等措施间分配资源，以最大化控制 HIV/AIDS 的传播效果？请建立模型并对不同地区给出策略。
🧭 建模思路要点
以 SIR/SI 类传染病动力学模型刻画传播，把各项措施对参数（感染率、治疗率）的作用建成资源—效果响应函数；在预算约束下最优化健康产出（如避免感染人数或 QALY）。
灌溉喷洒系统的定位与移动
Positioning and Moving Sprinkler Systems
手动移动的灌溉喷洒系统需要合理安排喷头位置与移动方案，使一块田地被均匀、充分地灌溉，同时尽量减少人工与用水。请建立模型给出布置与移动时间表。
🧭 建模思路要点
以喷洒水量的空间分布函数刻画单喷头覆盖，叠加多位置得到田块累计水量场；以「覆盖均匀度」为目标、移动次数与用水为约束，转化为覆盖—调度联合优化。
机场轮椅调度问题
Wheelchair Access at Airports
机场需为行动不便的旅客提供轮椅接送服务。请建立模型，在给定航班时刻与旅客需求下，安排轮椅与服务人员的调度，使旅客等待最短、资源利用最优。
🧭 建模思路要点
将需求按航班到发建成时间窗任务，用带时间窗的指派 / 车辆路径模型（VRPTW）调度轮椅与人员；以等待时间与人力成本为目标，用启发式（贪心 + 局部搜索）求解。
不可再生资源的管理问题
Nonrenewable Resources
面对石油、矿产等不可再生资源的耗竭，请建立模型，评估资源的可持续利用策略，权衡当代需求与后代权益，并给出政策建议。
🧭 建模思路要点
以资源存量的动态方程 + 折现效用泛函为核心，用最优控制（Hotelling 法则）刻画开采路径；引入替代技术进步率与需求弹性做情景分析与敏感性检验。
溃坝洪水估计问题
Flood Planning
南卡罗来纳州的 Murray 大坝一旦溃决，下游 Saluda 河与哥伦比亚市将受洪水威胁。请建立模型，估计溃坝后洪水淹没的范围、深度与到达时间，评估对下游的影响。
🧭 建模思路要点
以水量守恒与圣维南方程（明渠非恒定流）为骨架，将河道离散为若干断面，用曼宁公式刻画流速与水深关系，数值推进求解洪峰传播；再叠加地形高程得到淹没图。
高速公路收费亭设置问题
Tollbooths
高速公路收费站的收费亭数量通常多于车道数。请建立模型，确定在给定车道数与车流量下，收费亭的最优数量，使得通行效率与建设成本达到平衡。
🧭 建模思路要点
以排队论（M/M/c 或收费站的批量到达模型）刻画车辆到达—服务过程，计算平均等待时间与队长；把亭数当决策变量，构造「等待成本 + 建设成本」总成本函数求最优。
Map · 赛事地图
主要数学竞赛一览
家长最常问的第一件事：都有哪些比赛、什么时间、适合谁。时间以各官方通知为准。
华罗庚金杯少年数学邀请赛（华杯赛）
🗓 通常初赛在春季 · 适合：小学高年级 · 初中
国内影响力最大的少年数学赛事之一，适合竞赛启蒙第一站。
全国初中数学联合竞赛（初联）
🗓 通常每年上半年 · 适合：初二 · 初三
初中竞赛主线赛事，代数与几何并重，是高中联赛的前哨。
全国高中数学联合竞赛（高联）
🗓 通常每年 9 月 · 适合：高中各年级
一试接轨课内进阶，二试进入真正的奥数四大模块；省一是强基计划的重要筹码。
中国数学奥林匹克（CMO）
🗓 通常每年 11-12 月 · 适合：高联省队选手
国家级决赛，向上通往国家集训队与 IMO 国家队。
全国大学生数学竞赛（CMC）
🗓 初赛通常 11 月，决赛次年春 · 适合：大学生（数学类 / 非数学类分卷）
大学阶段延续竞赛思维的主赛道，考察分析、代数与综合能力。
丘成桐大学生数学竞赛
🗓 通常每年夏季 · 适合：数学专业本科生
难度对标国际研究生资格考试，覆盖分析、几何、代数、概率等方向。
AMC8 / AMC10 / AMC12 → AIME
🗓 AMC 通常 11 月，AIME 次年初 · 适合：小学高年级至高中
美国数学竞赛体系，题风灵活，是英文数学与留学申请的加分项。
国际数学奥林匹克（IMO）
🗓 每年 7 月 · 适合：国家队 6 人
竞赛数学的顶点——但它的思维方法，人人都可以学。
Modules · 四大模块
竞赛数学知识地图
高联二试以上的世界由四大模块构成。先认地图，再走路。
代数
核心专题
标志性方法
- · 均值不等式（AM-GM）
- · 柯西不等式
- · 配方与换元
- · 韦达定理
- · 数学归纳法
💡 从均值不等式开始：一个「和与积」的张力，撑起了半个竞赛代数。
几何
核心专题
标志性方法
- · 辅助线构造
- · 旋转 / 对称变换
- · 托勒密定理
- · 塞瓦与梅涅劳斯定理
- · 同一法
💡 几何的核心不是背定理，是「看结构」——每条辅助线都是一次结构翻译。
数论
核心专题
标志性方法
- · 同余运算
- · 费马小定理 / 欧拉定理
- · 无穷递降法
- · 中国剩余定理
- · 构造与估计
💡 数论最迷人：陈述小学生能懂，证明可以难倒所有人。从同余记号学起。
组合
核心专题
标志性方法
- · 极端原理
- · 染色 / 奇偶性
- · 不变量方法
- · 双计数
- · 构造法与反证法
💡 组合是「聪明地数数 + 聪明地构造」，最能体现数学的机智。
Weekly · 每周一题
每周一题 · 分层提示训练
规则只有一条：先想 20 分钟，再逐层展开提示。 看完提示 1 就合上页面继续想——能自己走完最后一步，比看懂十个解答更有价值。
五个整数里的三数之和
任意给定 5 个整数，证明：其中必能选出 3 个数，它们的和能被 3 整除。
🔍 提示 1（轻推一下）
把每个数按除以 3 的余数分类（余 0、余 1、余 2），5 个数放进 3 个「抽屉」。
🔦 提示 2（再推一下）
分两种情况：三个余数类都非空；或者至少有一类为空（此时 5 个数挤在至多 2 类里）。
✅ 完整思路（先想再看）
按 mod 3 余数分三类。情况一：三类都有数，各取一个，和 ≡ 0+1+2 = 3 ≡ 0 (mod 3)。情况二：至多两类非空，由抽屉原理必有一类含 ≥3 个数，取该类中 3 个，和 ≡ 3r ≡ 0 (mod 3)。两种情况均得证。
🎯 这题练的是：抽屉原理 + 按余数分类：竞赛组合与数论交界处最常用的第一招。
乘积为 1 的三元不等式
设正实数 a, b, c 满足 abc = 1，证明：(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8。
🔍 提示 1（轻推一下）
对每个括号分别使用均值不等式：a+b ≥ 2√(ab)。
🔦 提示 2（再推一下）
三个不等式相乘后，右边出现 √(ab)·√(bc)·√(ca)——把它化简成 abc。
✅ 完整思路（先想再看）
由 AM-GM：a+b ≥ 2√(ab)，b+c ≥ 2√(bc)，c+a ≥ 2√(ca)。三式相乘得 (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8·√(a²b²c²) = 8·abc = 8。等号当且仅当 a = b = c = 1 时成立。
🎯 这题练的是：AM-GM 的「逐项估计再相乘」套路，注意最后核对等号成立条件。
n⁵ − n 的整除性
证明：对任意正整数 n，30 整除 n⁵ − n。
🔍 提示 1（轻推一下）
30 = 2 × 3 × 5，只需分别证明 2、3、5 都整除 n⁵ − n。
🔦 提示 2（再推一下）
因式分解 n⁵ − n = n(n−1)(n+1)(n²+1)；连续整数解决 2 和 3，模 5 逐一验证或用费马小定理。
✅ 完整思路（先想再看）
n⁵ − n = n(n²−1)(n²+1) = (n−1)·n·(n+1)·(n²+1)。相邻三整数 (n−1)n(n+1) 中必有 2 的倍数与 3 的倍数，故 6 | n⁵−n。对模 5：由费马小定理 n⁵ ≡ n (mod 5)（或对 n ≡ 0,±1,±2 逐一验证），故 5 | n⁵−n。2、3、5 两两互素，所以 30 | n⁵ − n。
🎯 这题练的是：「拆分模数 + 因式分解 + 费马小定理」——数论整除题的标准三板斧。
残缺棋盘的骨牌覆盖
把 8×8 棋盘剪去对角的两个角格，剩下 62 格。问：能否用 31 块 1×2 的骨牌不重叠地恰好盖住？请证明你的结论。
🔍 提示 1（轻推一下）
先把棋盘黑白染色。被剪掉的两个对角格是什么颜色？
🔦 提示 2（再推一下）
每块 1×2 骨牌无论横放竖放，总是盖住一黑一白。数一数剩下的黑格与白格各有多少。
✅ 完整思路（先想再看）
不能。标准黑白染色下，对角两格同色（不妨设均为黑），剩下黑格 30 个、白格 32 个。每块骨牌恰盖一黑一白，31 块骨牌需要黑白各 31 格，与 30 ≠ 32 矛盾。故不存在这样的覆盖。
🎯 这题练的是：染色法的经典范式：给对象附加「不变量」，让不可能性变得可数、可见。
正方形里的 15° 角
在正方形 ABCD 内取一点 P，使得 ∠PAB = ∠PBA = 15°。证明：△PCD 是等边三角形。
🔍 提示 1（轻推一下）
直接证不好下手时，试试「同一法」：先构造一个使结论成立的点，再证它就是 P。
🔦 提示 2（再推一下）
在正方形内取点 Q，使 △QCD 为等边三角形，计算 ∠QAB 与 ∠QBA 各是多少度。
✅ 完整思路（先想再看）
同一法。设 Q 为正方形内使 △QCD 等边的点。由对称性 Q 在 AB、CD 的中垂线上，且 QD = DC = DA，故 △QDA 为等腰三角形，其顶角 ∠QDA = 90° − 60° = 30°，从而 ∠QAD = 75°，即 ∠QAB = 15°；同理 ∠QBA = 15°。这说明 Q 与 P 由完全相同的角度条件确定（这样的点在正方形内唯一），故 P = Q，△PCD 等边。
🎯 这题练的是：同一法（构造 + 唯一性）：把「证明它是」转化为「构造一个是的，再证只有一个」。
Roadmap · 进阶路线
从课内到竞赛：一张路线表
竞赛是长跑，抢跑不如按台阶走。每个阶段的书单详见数学书库。
| 阶段 | 目标赛事 | 训练重点 | 资源方向 |
|---|---|---|---|
| 启蒙（小学高年级—初一） | 华杯赛 / 校内拓展 | 计数、简单数论、图形观察；重「玩题」而非刷题，保护好奇心。 | 趣味数学科普 + 每日一图跟练 |
| 初中竞赛（初二—初三） | 初联 | 代数变形、平面几何辅助线、同余入门、抽屉原理；开始写严谨证明。 | 初中竞赛教程 + 几何辅助线专题 |
| 高联一试（高一—高二） | 高联一试 / 强基 | 函数、数列、不等式、解析几何的竞赛级技巧，与课内相互加固。 | 一试专题讲义 + 历年真题 |
| 高联二试（高二—高三） | 高联二试 / CMO | 四大模块系统训练：平几、代数、数论、组合各成体系，每周限时模拟。 | 奥数教程四大模块分册 + 命题人讲座系列 |
| 大学延伸 | CMC / 丘赛 | 数学分析与高等代数的深度问题；竞赛思维转化为科研品味。 | 见「大学数学书院」与实分析书单 |
我们不制造数学焦虑：竞赛适合真正喜欢它的孩子。判断标准不是名次，而是—— 做出一道难题后，他是先高兴，还是先问「还有没有下一道」。