2020 年江苏卷·第16题

分步解析

1. 1由余弦定理：$12=b^2+c^2-2bc\cos \frac{2\pi }{3}=b^2+c^2+bc$。
2. 2由基本不等式 $b^2+c^2\ge 2bc$，得 $12\ge 2bc+bc=3bc$，即 $bc\le 4$。
3. 3面积 $S=\frac{1}{2}bc\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}bc\le \frac{\sqrt{3}}{4}\times 4=\sqrt{3}$。
4. 4当 $b=c=2$ 时取等，故最大面积为 $\sqrt{3}$。