在 ABC 中， a=2 ， A= 3 ，求 ABC 周长的最大值。 6 面积公式与周长最值周长最值余弦定理基本不等式新高考I卷 2022

6 由余弦定理： 4 = b 2 + c 2 − 2 b c cos 3 π = b 2 + c 2 − b c 。配方成和的形式： 4 = ( b + c ) 2 − 3 b c ，故 ( b + c ) 2 = 4 + 3 b c 。由基本不等式 b c ≤ ( 2 b + c ) 2 ，令 s = b + c ，得 s 2 ≤ 4 + 4 3 s 2 。整理得 4 1 s 2 ≤ 4 ，即 s ≤ 4 ，当且仅当 b = c = 2 时取等。故周长 a + b + c ≤ 2 + 4 = 6 ，最大值为 6 （此时为等边三角形）。

高考数学考点题库/解三角形/面积公式与周长最值

2022 年新高考I卷·第18题

解答题★★★★☆ 较难改编题通法

在

△ A B C

中，

a = 2

，

A = \frac{π}{3}

，求

△ A B C

周长的最大值。

答案

6

分步解析

1由余弦定理： $4 = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos \frac{π}{3} = b^{2} + c^{2} - b c$ 。
2配方成和的形式： $4 = (b + c)^{2} - 3 b c$ ，故 $(b + c)^{2} = 4 + 3 b c$ 。
3由基本不等式 $b c \leq (\frac{b + c}{2})^{2}$ ，令 $s = b + c$ ，得 $s^{2} \leq 4 + \frac{3}{4} s^{2}$ 。
4整理得 $\frac{1}{4} s^{2} \leq 4$ ，即 $s \leq 4$ ，当且仅当 $b = c = 2$ 时取等。
5故周长 $a + b + c \leq 2 + 4 = 6$ ，最大值为 $6$ （此时为等边三角形）。

点评「一边一对角求周长/面积最值」是解三角形的固定题型：余弦定理列关系，再用基本不等式，等号必在等腰时取到。

#周长最值#余弦定理#基本不等式

2022 年真题新高考I卷

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