2020 年山东卷·第19题

分步解析

1. 1以 $A$ 为原点建系：$A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$D(0,1,0)$，$A_1(0,0,1)$。
2. 2求平面 $A_{1}BD$ 的法向量：设 $\vec{n}=(x,y,z)$，由 $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}$ 型条件——取平面内向量 $\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)$、$\overrightarrow{B{A}_1}=(-1,0,1)$，解得 $\vec{n}=(1,1,1)$。
3. 3取平面上一点 $B$，则 $\overrightarrow{BA}=(-1,0,0)$。
4. 4距离 $d=\frac{|\overrightarrow{BA}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|-1|}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。