在棱长为 1 的正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中，求异面直线 AB 1 与 BC 1 所成角的大小。 60 异面直线所成角异面直线空间向量建系新课标I卷 2024

6 0 ∘ 以 A 为原点， A B 、 A D 、 A A 1 分别为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系。写出坐标： A ( 0 , 0 , 0 ) ， B ( 1 , 0 , 0 ) ， B 1 ( 1 , 0 , 1 ) ， C 1 ( 1 , 1 , 1 ) 。两向量为 A B 1 <path d="M0 241v40h399891c-47.3 35.3-84 78-110 128 -16.7 32-27.7 63.7-33 95 0 1.3-.2 2.7-.5 4-.3 1.3-.5 2.3-.5 3 0 7.3 6.7 11 20 11 8 0 13.2-.8 15.5-2.5 2.3-1.7 4.2-5.5 5.5-11.5 2-13.3 5.7-27 11-41 14.7-44.7 39-84.5 73-119.5s73.7-60.2 119-75.5c6-2 9-5.7 9-11s-3-9-9-11c-45.3-15.3-85 -40.5-119-75.5s-58.3-74.8-73-119.5c-4.7-14-8.3-27.3-11-40-1.3-6.7-3.2-10.8-5.5 -12.5-2.3-1.7-7.5-2.5-15.5-2.5-14 0-21 3.7-21 11 0 2 2 10.3 6 25 20.7 83.3 67 151.7 139 205zm0 0v40h399900v-40z"/> = ( 1 , 0 , 1 ) ， B C 1 <path d="M0 241v40h399891c-47.3 35.3-84 78-110 128 -16.7 32-27.7 63.7-33 95 0 1.3-.2 2.7-.5 4-.3 1.3-.5 2.3-.5 3 0 7.3 6.7 11 20 11 8 0 13.2-.8 15.5-2.5 2.3-1.7 4.2-5.5 5.5-11.5 2-13.3 5.7-27 11-41 14.7-44.7 39-84.5 73-119.5s73.7-60.2 119-75.5c6-2 9-5.7 9-11s-3-9-9-11c-45.3-15.3-85 -40.5-119-75.5s-58.3-74.8-73-119.5c-4.7-14-8.3-27.3-11-40-1.3-6.7-3.2-10.8-5.5 -12.5-2.3-1.7-7.5-2.5-15.5-2.5-14 0-21 3.7-21 11 0 2 2 10.3 6 25 20.7 83.3 67 151.7 139 205zm0 0v40h399900v-40z"/> = ( 0 , 1 , 1 ) ，数量积为 0 + 0 + 1 = 1 ，模均为 2 <path d="M95,702 c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14 c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54 c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10 s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429 c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221 l0 -0 c5.3,-9.3,12,-14,20,-14 H400000v40H845.2724 s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7 c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z M834 80h400000v40h-400000z"/> 。故 cos θ = 2 <path d="M95,702 c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14 c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54 c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10 s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429 c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221 l0 -0 c5.3,-9.3,12,-14,20,-14 H400000v40H845.2724 s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7 c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z M834 80h400000v40h-400000z"/> × 2 <path d="M95,702 c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14 c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54 c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10 s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429 c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221 l0 -0 c5.3,-9.3,12,-14,20,-14 H400000v40H845.2724 s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7 c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z M834 80h400000v40h-400000z"/> ∣1∣ = 2 1 。异面直线所成角的范围是 ( 0 , 2 π ] ，故所成角为 6 0 ∘ 。

高考数学考点题库/空间向量与空间角/异面直线所成角

2024 年新课标I卷·第17题

解答题★★★★☆ 较难改编题通法

在棱长为

1

的正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中，求异面直线

A B_{1}

与

B C_{1}

所成角的大小。

答案

6 0^{\circ}

分步解析

1以 $A$ 为原点， $A B$ 、 $A D$ 、 $A A_{1}$ 分别为 $x, y, z$ 轴建立空间直角坐标系。
2写出坐标： $A (0, 0, 0)$ ， $B (1, 0, 0)$ ， $B_{1} (1, 0, 1)$ ， $C_{1} (1, 1, 1)$ 。
3两向量为 $A B_{1} = (1, 0, 1)$ ， $B C_{1} = (0, 1, 1)$ ，数量积为 $0 + 0 + 1 = 1$ ，模均为 $2$ 。
4故 $cos θ = \frac{∣1∣}{2 \times 2} = \frac{1}{2}$ 。
5异面直线所成角的范围是 $(0, \frac{π}{2}]$ ，故所成角为 $6 0^{\circ}$ 。

点评异面直线所成角必须取余弦的绝对值，因为向量夹角可能是钝角而异面直线所成角不超过

9 0^{\circ}

。

#异面直线#空间向量#建系

2024 年真题新课标I卷

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