2024 年新课标I卷·第17题

分步解析

1. 1以 $A$ 为原点，$AB$、$AD$、$A{A}_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。
2. 2写出坐标：$A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$B_1(1,0,1)$，$C_1(1,1,1)$。
3. 3两向量为 $\overrightarrow{A{B}_1}=(1,0,1)$，$\overrightarrow{B{C}_1}=(0,1,1)$，数量积为 $0+0+1=1$，模均为 $\sqrt{2}$。
4. 4故 $\cos \theta =\frac{|1|}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$。
5. 5异面直线所成角的范围是 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right]$，故所成角为 $60^{\circ }$。