空间向量与空间角

1. 1两法向量的数量积：$\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=1\times 0+0\times 1+1\times 1=1$。
2. 2两法向量的模：$|\overrightarrow{n_1}|=|\overrightarrow{n_2}|=\sqrt{2}$。
3. 3夹角余弦：$\cos ⟨\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$。
4. 4题设该二面角为锐角，故其余弦值为 $\frac{1}{2}$。

点评法向量夹角与二面角要么相等要么互补，必须结合图形判断锐钝，不能直接把法向量夹角当作答案。

1. 1以 $A$ 为原点，$AB$、$AD$、$A{A}_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。
2. 2写出坐标：$A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$B_1(1,0,1)$，$C_1(1,1,1)$。
3. 3两向量为 $\overrightarrow{A{B}_1}=(1,0,1)$，$\overrightarrow{B{C}_1}=(0,1,1)$，数量积为 $0+0+1=1$，模均为 $\sqrt{2}$。
4. 4故 $\cos \theta =\frac{|1|}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$。
5. 5异面直线所成角的范围是 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right]$，故所成角为 $60^{\circ }$。

点评异面直线所成角必须取余弦的绝对值，因为向量夹角可能是钝角而异面直线所成角不超过 $90^{\circ }$。

1. 1$A_{1}A\perp$ 底面，故 $AC$ 是 $A_{1}C$ 在底面内的射影，$\angle A_{1}CA$ 即为所求线面角。
2. 2在底面正方形中：$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
3. 3在直角三角形 $A_{1}AC$ 中：$\tan \angle A_{1}CA=\frac{A{A}_1}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1$。
4. 4故所成角为 $45^{\circ }$。

点评线面角的几何定义是「斜线与其射影的夹角」，长方体中射影一目了然，比建系更快。

1. 1以 $A$ 为原点建系：$B(1,0,0)$，$D_1(0,1,1)$，故 $\overrightarrow{B{D}_1}=(-1,1,1)$。
2. 2平面 $ABCD$ 就是 $xOy$ 平面，取法向量 $\vec{n}=(0,0,1)$。
3. 3线面角的正弦等于方向向量与法向量夹角余弦的绝对值：$\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{B{D}_1}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{B{D}_1}||\vec{n}|}$。
4. 4计算：$\frac{|1|}{\sqrt{3}\times 1}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

点评线面角用「正弦」、二面角用「余弦」，这是空间向量法最容易记混的一处；写成 $\sin \theta =|\cos ⟨\vec{a},\vec{n}⟩|$ 就不会错。

1. 1以 $A$ 为原点建系，得 $A_1(0,0,2)$，$B(2,0,0)$，$C(2,2,0)$，$E(2,2,1)$。
2. 2取平面内两个不共线向量：$\overrightarrow{A_{1}B}=(2,0,-2)$，$\overrightarrow{BE}=(0,2,1)$。
3. 3设 $\vec{n}=(x,y,z)$，由 $\vec{n}\cdot \overrightarrow{A_{1}B}=0$ 得 $2x-2z=0$，即 $x=z$；由 $\vec{n}\cdot \overrightarrow{BE}=0$ 得 $2y+z=0$，即 $y=-\frac{z}{2}$。
4. 4取 $z=2$，得 $\vec{n}=(2,-1,2)$。（法向量不唯一，任意非零倍数均可。）

点评求法向量时给某个分量赋一个方便的值（通常取能消去分母的数），可大幅减少计算量。

1. 1设 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$。由正方形性质 $AO\perp BD$。
2. 2由 $A{A}_1\perp$ 底面得 $A{A}_1\perp BD$，又 $BD\perp AO$，故 $BD\perp$ 平面 $A_{1}AO$，从而 $BD\perp A_{1}O$。
3. 3于是 $\angle A_{1}OA$ 就是二面角 $A_1\text{-}BD\text{-}A$ 的平面角。
4. 4在直角三角形 $A_{1}AO$ 中，$A{A}_1=2$，$AO=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$。
5. 5故 $\tan \angle A_{1}OA=\frac{A{A}_1}{AO}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。

点评几何法作二面角的关键是「三垂线」：在一个半平面内找一点向棱作垂线，再证另一条也垂直于棱。本题也可建系用法向量验证。

1. 1设棱长为 $2$，用基底 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ 表示，两两夹角均为 $60^{\circ }$，故两两数量积为 $2\times 2\times \frac{1}{2}=2$。
2. 2$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$，$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$。
3. 3数量积：$\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}-|\overrightarrow{AC}{|}^2\right)=\frac{1}{2}(2-2+2-4)=-1$。
4. 4两模：$|\overrightarrow{CD}|=2$；$|\overrightarrow{AE}{|}^2=\frac{1}{4}(4+4+2\times 2)=3$，故 $|\overrightarrow{AE}|=\sqrt{3}$。
5. 5所成角余弦为 $\frac{|-1|}{\sqrt{3}\times 2}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$。

点评正四面体不便建系时改用基底法：三条棱作基底，夹角全为 $60^{\circ }$，数量积一律等于「棱长平方的一半」。

1. 1取平面内一点 $M$，作向量 $\overrightarrow{MP}=(2-1,3-0,1-0)=(1,3,1)$。
2. 2点到平面距离公式：$d=\frac{|\overrightarrow{MP}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$。
3. 3计算：$\overrightarrow{MP}\cdot \vec{n}=1+3+1=5$，$|\vec{n}|=\sqrt{3}$。
4. 4故 $d=\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$。

点评点到平面的距离就是「连接向量在法向量上的投影长度」，公式与点到直线距离的结构完全一致。

1. 1以 $A$ 为原点建系：$A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$D(0,1,0)$，$A_1(0,0,1)$。
2. 2求平面 $A_{1}BD$ 的法向量：设 $\vec{n}=(x,y,z)$，由 $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}$ 型条件——取平面内向量 $\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)$、$\overrightarrow{B{A}_1}=(-1,0,1)$，解得 $\vec{n}=(1,1,1)$。
3. 3取平面上一点 $B$，则 $\overrightarrow{BA}=(-1,0,0)$。
4. 4距离 $d=\frac{|\overrightarrow{BA}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|-1|}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

点评也可用等体积法：$V_{A\text{-}{A}_{1}BD}=V_{A_1\text{-}ABD}$，两次算同一个四面体的体积反解出高，适合不便建系的图形。

1. 1以 $A$ 为原点，$AB$、$AD$、$A{A}_1$ 为三条坐标轴建系。
2. 2写出坐标：$A_1(0,0,1)$，$C(1,1,0)$，$B(1,0,0)$，$D(0,1,0)$。
3. 3两向量：$\overrightarrow{A_{1}C}=(1,1,-1)$，$\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)$。
4. 4数量积：$1\times (-1)+1\times 1+(-1)\times 0=0$。
5. 5故 $\overrightarrow{A_{1}C}\perp \overrightarrow{BD}$，即 $A_{1}C\perp BD$。

点评用向量证垂直只需算一个数量积，比几何法找辅助线稳妥得多；建系时务必写清原点与三条轴的选取。