高考数学考点题库/解三角形/余弦定理

2020 年新高考I卷·第17题

解答题★★★★☆ 较难改编题通法

在

△ A B C

中，

a^{2} + c^{2} - b^{2} = a c

，求角

B

；若

b = 3

，求

△ A B C

面积的最大值。

答案

B = \frac{π}{3}

；面积最大值为

\frac{3 3}{4}

。

分步解析

1由余弦定理变形 $cos B = \frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c} = \frac{a c}{2 a c} = \frac{1}{2}$ ，又 $B \in (0, π)$ ，故 $B = \frac{π}{3}$ 。
2再由余弦定理： $3 = a^{2} + c^{2} - a c$ 。
3由基本不等式 $a^{2} + c^{2} \geq 2 a c$ ，得 $3 \geq 2 a c - a c = a c$ ，即 $a c \leq 3$ 。
4面积 $S = \frac{1}{2} a c sin B = \frac{3}{4} a c \leq \frac{3 3}{4}$ ，当 $a = c = 3$ 时取等。

点评看到

a^{2} + c^{2} - b^{2}

这种组合，立刻联想余弦定理的变形式

cos B = \frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}

。

#余弦定理#面积最值#基本不等式

2020 年真题新高考I卷

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