2021 年湖北卷·第13题

分步解析

1. 1在 $△PAB$ 中，$\angle APB=180^{\circ }-60^{\circ }-45^{\circ }=75^{\circ }$。
2. 2由正弦定理 $\frac{PA}{\sin \angle PBA}=\frac{AB}{\sin \angle APB}$。
3. 3代入：$PA=\frac{60\sin 45^{\circ }}{\sin 75^{\circ }}$，其中 $\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$。
4. 4计算：$PA=\frac{60\times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=\frac{120\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=30(\sqrt{6}-\sqrt{2})$（分母有理化）。