2021 年湖北卷·第15题

分步解析

1. 1设棱长为 $2$，用基底 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ 表示，两两夹角均为 $60^{\circ }$，故两两数量积为 $2\times 2\times \frac{1}{2}=2$。
2. 2$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$，$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$。
3. 3数量积：$\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}-|\overrightarrow{AC}{|}^2\right)=\frac{1}{2}(2-2+2-4)=-1$。
4. 4两模：$|\overrightarrow{CD}|=2$；$|\overrightarrow{AE}{|}^2=\frac{1}{4}(4+4+2\times 2)=3$，故 $|\overrightarrow{AE}|=\sqrt{3}$。
5. 5所成角余弦为 $\frac{|-1|}{\sqrt{3}\times 2}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$。