2022 年新高考I卷·第19题

分步解析

1. 1设 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$。由正方形性质 $AO\perp BD$。
2. 2由 $A{A}_1\perp$ 底面得 $A{A}_1\perp BD$，又 $BD\perp AO$，故 $BD\perp$ 平面 $A_{1}AO$，从而 $BD\perp A_{1}O$。
3. 3于是 $\angle A_{1}OA$ 就是二面角 $A_1\text{-}BD\text{-}A$ 的平面角。
4. 4在直角三角形 $A_{1}AO$ 中，$A{A}_1=2$，$AO=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$。
5. 5故 $\tan \angle A_{1}OA=\frac{A{A}_1}{AO}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。