2020 年江苏卷·第14题

分步解析

1. 1先脱去绝对值：当 $x\le 0$ 时 $x^2-2x=x(x-2)\ge 0$，当 $x>0$ 时 $\ln (x+1)>0$，故 $|f(x)|=f(x)$ 恒成立。
2. 2$x=0$ 时不等式为 $0\ge 0$，成立，对 $a$ 无限制。
3. 3当 $x>0$ 时需 $\ln (x+1)\ge ax$。若 $a\le 0$，右边非正而左边为正，成立；若 $a>0$，由 $\ln (1+x)<x$ 且 $x\to +\infty$ 时 $\frac{\ln (1+x)}{x}\to 0$，必有 $x$ 使不等式反向。故此段要求 $a\le 0$。
4. 4当 $x<0$ 时需 $x^2-2x\ge ax$，两边同除以负数 $x$ 需变号，得 $x-2\le a$。对一切 $x<0$ 成立即 $a\ge {\sup }_{x<0}(x-2)=-2$（上确界取不到，故 $a=-2$ 可行）。
5. 5两段取交集得 $-2\le a\le 0$。