高考数学考点题库/等差数列与等比数列/等差等比的判定

2020 年江苏卷·第9题

解答题★★★★☆ 较难改编题通法

已知等差数列

{a_{n}}

的公差不为零，

a_{1} = 1

，且

a_{1}

、

a_{2}

、

a_{5}

成等比数列，求

{a_{n}}

的通项公式。

答案

a_{n} = 2 n - 1

分步解析

1设公差为 $d \neq = 0$ ，则 $a_{2} = 1 + d$ ， $a_{5} = 1 + 4 d$ 。
2三数成等比的条件是中项平方等于两端之积： $a_{2}^{2} = a_{1} a_{5}$ 。
3代入得 $(1 + d)^{2} = 1 \times (1 + 4 d)$ ，展开为 $1 + 2 d + d^{2} = 1 + 4 d$ ，即 $d^{2} - 2 d = 0$ 。
4解得 $d = 0$ （舍去，因公差不为零）或 $d = 2$ 。
5故 $a_{n} = 1 + 2 (n - 1) = 2 n - 1$ 。

点评等比中项条件写成

b^{2} = a c

而不是

b = a c

，可以避免符号丢失；同时要按题设排除

d = 0

。

#等差数列#等比中项#求通项

2020 年真题江苏卷

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