等差数列与等比数列

1. 1利用等比数列的跨项关系：$a_5=a_2{q}^3$。
2. 2代入得 $16=2q^3$，即 $q^3=8$。
3. 3在实数范围内 $q=2$，选 A。

点评$a_n=a_m{q}^{n-m}$ 比先求 $a_1$ 再求 $q$ 少一步；注意奇数次方根唯一、偶数次方根要讨论正负。

1. 1等差数列前 $n$ 项和公式：$S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$。
2. 2代入 $n=10$：$S_{10}=10\times 1+\frac{10\times 9}{2}\times 2$。
3. 3计算：$10+90=100$，选 A。

1. 1等比数列的下标和性质：$3+7=2\times 5$，故 $a_3{a}_7=a_5^2$。
2. 2代入得 $a_5^2=16$。
3. 3由各项为正取正根，$a_5=4$。

点评等差看「和」、等比看「积」：下标和相等时，等差的项和相等、等比的项积相等。

1. 1由 $S_9=S_5$ 得 $a_6+a_7+a_8+a_9=0$，即 $4a_1+26d=0$，化简为 $2a_1+13d=0$。
2. 2A 对：由 $2a_1=-13d$ 与 $a_1>0$ 得 $d<0$。
3. 3B 错：$a_7=a_1+6d=-\frac{13d}{2}+6d=-\frac{d}{2}$，因 $d<0$ 故 $a_7>0$，并不等于 $0$。
4. 4C 对：$a_8=a_1+7d=\frac{d}{2}<0$，即前 $7$ 项为正、从第 $8$ 项起为负，故 $S_7$ 最大。
5. 5D 对：$S_{14}=\frac{14(a_1+a_{14})}{2}=7(2a_1+13d)=0$。
6. 6故选 ACD。

点评$S_m=S_n$（$m\ne n$）等价于 $a_{m+1}+\cdots +a_n=0$，也等价于 $S_{m+n}=0$，这是等差数列最实用的一组等价条件。

1. 1等差数列的下标和性质：若 $m+n=p+q$，则 $a_m+a_n=a_p+a_q$。由 $3+7=2\times 5$ 得 $a_3+a_7=2a_5=10$，故 $a_5=5$。
2. 2前 $n$ 项和的中项形式：$S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}=9a_5$（因 $a_1+a_9=2a_5$）。
3. 3故 $S_9=9\times 5=45$，选 A。

点评奇数项和的秒杀公式：$S_{2k-1}=(2k-1)a_k$。本题 $S_9=9a_5$，不必求 $a_1$ 与 $d$。

1. 1由 $a_{n+1}-a_n=3$ 为常数，知 $\{a_n\}$ 是首项 $1$、公差 $3$ 的等差数列。
2. 2通项公式：$a_n=1+3(n-1)=3n-2$。
3. 3代入 $n=20$：$a_{20}=60-2=58$，选 A。

1. 1等比数列前 $n$ 项和公式（$q\ne 1$）：$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。
2. 2代入：$S_5=\frac{2(1-3^5)}{1-3}=\frac{2(1-243)}{-2}$。
3. 3计算：$=\frac{2\times (-242)}{-2}=242$，选 A。

点评用等比求和公式前必须确认 $q\ne 1$；若题目中 $q$ 含参，$q=1$ 的情形要单独讨论。

1. 1当 $n\ge 2$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+n)-\left[(n-1{)}^2+(n-1)\right]$。
2. 2展开：$(n^2+n)-(n^2-2n+1+n-1)=(n^2+n)-(n^2-n)=2n$。
3. 3验证首项：$a_1=S_1=1+1=2$，与 $2n$ 在 $n=1$ 时的值一致。
4. 4故 $a_n=2n$（对一切 $n\ge 1$ 成立）。

点评由 $S_n$ 求 $a_n$ 必须分 $n=1$ 与 $n\ge 2$ 两步，最后检验首项能否并入统一表达式——这一步是标准得分点。

1. 1等差数列中，每连续 $k$ 项之和构成新的等差数列：$S_3$、$S_6-S_3$、$S_9-S_6$ 成等差。
2. 2已知 $S_3=9$，$S_6-S_3=36-9=27$，公差为 $27-9=18$。
3. 3故 $S_9-S_6=27+18=45$。
4. 4而 $a_7+a_8+a_9=S_9-S_6=45$。

点评「分段和成等差」是等差数列最好用的性质之一，能绕开求 $a_1$ 与 $d$ 的联立方程。

1. 1设公差为 $d\ne 0$，则 $a_2=1+d$，$a_5=1+4d$。
2. 2三数成等比的条件是中项平方等于两端之积：$a_2^2=a_1{a}_5$。
3. 3代入得 $(1+d{)}^2=1\times (1+4d)$，展开为 $1+2d+d^2=1+4d$，即 $d^2-2d=0$。
4. 4解得 $d=0$（舍去，因公差不为零）或 $d=2$。
5. 5故 $a_n=1+2(n-1)=2n-1$。

点评等比中项条件写成 $b^2=ac$ 而不是 $b=\sqrt{ac}$，可以避免符号丢失；同时要按题设排除 $d=0$。

1. 1写出通项：$a_n=9+(n-1)(-2)=11-2n$。
2. 2前 $n$ 项和最大的条件是「最后一个非负项」：令 $a_n\ge 0$ 得 $11-2n\ge 0$，即 $n\le 5.5$。
3. 3故 $a_5=1>0$，$a_6=-1<0$，前 $5$ 项均为正、从第 $6$ 项起为负。
4. 4所以 $S_n$ 在 $n=5$ 时最大。

点评等差数列前 $n$ 项和的最值不用配方也能做：正项加到最后一个非负项即可；若某项恰为 $0$，则两个 $n$ 都取到最大值。