已知集合 A= 1,2 ， B= x x 2 -(a+1)x+a=0 ，若 A B=A ，则实数 a 的所有可能取值构成的集合是＿＿＿＿＿＿。 1,2 集合的关系与子集集合子集含参方程分类讨论全国I卷 2020

{ 1 , 2 } A ∪ B = A 等价于 B ⊆ A 。把 B 的方程因式分解： x 2 − ( a + 1 ) x + a = ( x − 1 ) ( x − a ) = 0 ，根为 x = 1 与 x = a 。当 a = 1 时，方程有二重根 x = 1 ， B = { 1 } ⊆ A ，成立。当 a  = 1 时， B = { 1 , a } ，要使 B ⊆ A 必须 a ∈ A 且 a  = 1 ，故 a = 2 ，此时 B = { 1 , 2 } = A ，成立。综上 a ∈ { 1 , 2 } 。

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2020 年全国I卷·第2题

填空题★★★☆☆ 中档改编题通法

已知集合

A = {1, 2}

，

B = {x ∣ x^{2} - (a + 1) x + a = 0}

，若

A \cup B = A

，则实数

a

的所有可能取值构成的集合是＿＿＿＿＿＿。

答案

{1, 2}

分步解析

1 $A \cup B = A$ 等价于 $B \subseteq A$ 。
2把 $B$ 的方程因式分解： $x^{2} - (a + 1) x + a = (x - 1) (x - a) = 0$ ，根为 $x = 1$ 与 $x = a$ 。
3当 $a = 1$ 时，方程有二重根 $x = 1$ ， $B = {1} \subseteq A$ ，成立。
4当 $a \neq = 1$ 时， $B = {1, a}$ ，要使 $B \subseteq A$ 必须 $a \in A$ 且 $a \neq = 1$ ，故 $a = 2$ ，此时 $B = {1, 2} = A$ ，成立。
5综上 $a \in {1, 2}$ 。

点评本题的坑在于

B

恒含元素

1

，所以

B

不可能为空集，无需讨论空集情形；但若常数项不是

a

而含参，空集讨论就必须写。

#集合#子集#含参方程#分类讨论

2020 年真题全国I卷

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