集合与常用逻辑用语

1. 1先解 $A$：$x^2-4x+3<0$ 即 $(x-1)(x-3)<0$，开口向上取「中间」，得 $A=(1,3)$。
2. 2$A\subseteq B$ 表示区间 $(1,3)$ 完全落在 $(-\infty ,a)$ 内，只需右端点满足 $a\ge 3$。
3. 3检验临界值：当 $a=3$ 时 $B=(-\infty ,3)$，而 $A=(1,3)$ 中 $x$ 取不到 $3$，仍有 $A\subseteq B$ 成立，故 $a=3$ 可取。
4. 4所以 $a\ge 3$，选 C。

点评子集问题的临界值必须单独回代检验：$A$ 的右端点是开的，才使 $a=3$ 恰好可取，这一步决定选 C 还是选 D。

1. 1先把 $A$ 化成区间。由 $-5<x^3<5$ 且 $y=x^3$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，两边同时开立方得 $-\sqrt[3]{5}<x<\sqrt[3]{5}$。
2. 2估计端点大小：$1^3=1<5$，$2^3=8>5$，所以 $1<\sqrt[3]{5}<2$，即 $A\approx (-1.71,1.71)$。
3. 3逐个检验 $B$ 中元素是否落入该区间：$-3$ 不在，$-1$ 在，$0$ 在，$2$ 不在（因为 $2>\sqrt[3]{5}$），$3$ 不在。
4. 4故 $A\cap B=\{-1,0\}$，选 A。

点评不要急着对 $-5<x^3<5$ 两边开方，要说明 $y=x^3$ 单调递增才能保号；判断 $2$ 是否入选只需比较 $2^3=8$ 与 $5$，不必求出 $\sqrt[3]{5}$ 的近似值。

1. 1先看充分性：若 $x>2$，则 $x^2>4$ 成立，充分性满足。
2. 2再看必要性：取 $x=-3$，此时 $x^2=9>4$ 成立，但 $x>2$ 不成立，必要性不满足。
3. 3结论：「$x>2$」是「$x^2>4$」的充分不必要条件，选 A。

点评判定充要条件的标准动作是「正面证充分，反例破必要」，找反例优先考虑负数与 $0$。

1. 1解一元二次不等式：$x^2-x-6\ge 0$ 即 $(x-3)(x+2)\ge 0$。
2. 2对应方程的根为 $x=-2$ 与 $x=3$，二次项系数为正，开口向上，取「两边」，故 $N=\{x\mid x\le -2\text{ 或 }x\ge 3\}$。
3. 3把 $M$ 中五个元素逐个代入：只有 $-2$ 满足 $x\le -2$。
4. 4所以 $M\cap N=\{-2\}$，选 A。

点评端点是否取到由不等号是否带等号决定，本题带等号，$-2$ 必须入选。

1. 1全称命题的否定是存在命题：量词 $\forall$ 改为 $\exists$。
2. 2结论要取反：$x^2+x>0$ 的否定是 $x^2+x\le 0$。
3. 3关键点：限定条件 $x>0$ 属于取值范围，不参与否定，保持不变。
4. 4故否定为「$\exists x>0,x^2+x\le 0$」，选 B。

点评「改量词、否结论、不动范围」是命题否定的三句口诀，选项 C、D 正是把范围也一并否定的典型错误。

1. 1先定 $M$：$\sqrt{x}$ 有意义要求 $x\ge 0$；由 $\sqrt{x}<4$ 两边平方得 $x<16$。故 $M=\{x\mid 0\le x<16\}$。
2. 2再定 $N$：由 $3x\ge 1$ 得 $x\ge \frac{1}{3}$。
3. 3取交集：$\frac{1}{3}\le x<16$，选 D。

点评根式集合最容易漏掉隐含条件 $x\ge 0$；本题因 $N$ 已限定 $x\ge \frac{1}{3}$ 而未造成失分，但同类题里漏写定义域往往直接错。

1. 1先求补集：${\complement }_{U}B$ 是 $U$ 中不属于 $B$ 的元素，即 $\{1,2,5\}$。
2. 2再求交集：$A=\{1,2,3\}$ 与 $\{1,2,5\}$ 的公共元素为 $1,2$。
3. 3故结果为 $\{1,2\}$，选 A。

点评混合运算严格按括号顺序：先补后交，顺序反了会得到完全不同的集合。

1. 1$A$ 是开区间 $(-2,4)$，端点 $4$ 取不到。
2. 2把 $B$ 中元素逐个检验：$2\in A$，$3\in A$，$4\notin A$（开区间），$5\notin A$。
3. 3故 $A\cap B=\{2,3\}$，选 B。

点评连续集合与离散集合求交，一律用「逐个代入」最稳，避免把 $4$ 误算进去。

1. 1$A\cup B=A$ 等价于 $B\subseteq A$。
2. 2把 $B$ 的方程因式分解：$x^2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a)=0$，根为 $x=1$ 与 $x=a$。
3. 3当 $a=1$ 时，方程有二重根 $x=1$，$B=\{1\}\subseteq A$，成立。
4. 4当 $a\ne 1$ 时，$B=\{1,a\}$，要使 $B\subseteq A$ 必须 $a\in A$ 且 $a\ne 1$，故 $a=2$，此时 $B=\{1,2\}=A$，成立。
5. 5综上 $a\in \{1,2\}$。

点评本题的坑在于 $B$ 恒含元素 $1$，所以 $B$ 不可能为空集，无需讨论空集情形；但若常数项不是 $a$ 而含参，空集讨论就必须写。

1. 1在数轴上画出 $A=[1,3]$ 与 $B=(2,4)$，两段有重叠部分 $(2,3]$。
2. 2并集取「两段覆盖的全部」：左端点由 $A$ 提供且能取到，为 $1$；右端点由 $B$ 提供且取不到，为 $4$。
3. 3故 $A\cup B=\{x\mid 1\le x<4\}$，选 C。