2020 年全国I卷·第21题

分步解析

1. 1求导：$f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x-\frac{1}{x}$。因 ${\mathrm{e}}^x$ 递增、$\frac{1}{x}$ 递减，$f^{\prime }$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。
2. 2$f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\mathrm{e}}-2<0$，$f^{\prime }(1)=\mathrm{e}-1>0$，故 $f^{\prime }$ 存在唯一零点 $x_0\in \left(\frac{1}{2},1\right)$，且 $f$ 在 $x_0$ 处取最小值。
3. 3由 $f^{\prime }(x_0)=0$ 得关键关系 ${\mathrm{e}}^{x_0}=\frac{1}{x_0}$，两边取对数得 $x_0=-\ln x_0$。
4. 4整体代换：$f(x_0)={\mathrm{e}}^{x_0}-\ln x_0=\frac{1}{x_0}+x_0$。
5. 5由基本不等式 $\frac{1}{x_0}+x_0\ge 2$，等号需 $x_0=1$，而 $x_0\in \left(\frac{1}{2},1\right)$ 取不到，故 $f(x)\ge f(x_0)>2$。