2024 年新课标I卷·第18题

分步解析

1. 1令 $h(x)={\mathrm{e}}^x-ax-1$，条件即 $h(x)\ge 0$ 对一切 $x\ge 0$ 成立。注意 $h(0)=0$，故 $x=0$ 是边界点。
2. 2求导：$h^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x-a$。
3. 3当 $a\le 1$ 时，对 $x\ge 0$ 有 ${\mathrm{e}}^x\ge 1\ge a$，故 $h^{\prime }\ge 0$，$h$ 在 $[0,+\infty )$ 上递增，$h(x)\ge h(0)=0$，成立。
4. 4当 $a>1$ 时，$h^{\prime }(x)=0$ 的根 $x=\ln a>0$，$h$ 在 $(0,\ln a)$ 上递减，故 $h(\ln a)<h(0)=0$，不成立。
5. 5综上 $a\le 1$。