证明：对任意正整数 n ，都有 (1+ 1 n ) n < e 。结论成立。常用不等式放缩数列不等式取对数换元全国甲卷 2024

结论成立。两边取自然对数，原不等式等价于 n ln ( 1 + n 1 ) < 1 。令 t = n 1 ∈ ( 0 , 1 ] ，则只需证 t ln ( 1 + t ) < 1 ，即 ln ( 1 + t ) < t 。由本专题的常用放缩：令 f ( t ) = t − ln ( 1 + t ) ， f ′ ( t ) = 1 + t t > 0 （ t > 0 ）， f 递增且 f ( 0 ) = 0 ，故 t > 0 时 f ( t ) > 0 。即 ln ( 1 + t ) < t 成立，从而 n ln ( 1 + n 1 ) < 1 ，两边取指数得 ( 1 + n 1 ) n < e 。

高考数学考点题库/导数与不等式证明/常用不等式放缩

2024 年全国甲卷·第21题

解答题★★★★★ 压轴改编题通法

证明：对任意正整数

n

，都有

(1 + \frac{1}{n})^{n} < e

。

答案结论成立。

分步解析

1两边取自然对数，原不等式等价于 $n ln (1 + \frac{1}{n}) < 1$ 。
2令 $t = \frac{1}{n} \in (0, 1]$ ，则只需证 $\frac{ln ( 1 + t )}{t} < 1$ ，即 $ln (1 + t) < t$ 。
3由本专题的常用放缩：令 $f (t) = t - ln (1 + t)$ ， $f^{'} (t) = \frac{t}{1 + t} > 0$ （ $t > 0$ ）， $f$ 递增且 $f (0) = 0$ ，故 $t > 0$ 时 $f (t) > 0$ 。
4即 $ln (1 + t) < t$ 成立，从而 $n ln (1 + \frac{1}{n}) < 1$ ，两边取指数得 $(1 + \frac{1}{n})^{n} < e$ 。

点评含

n

次幂的数列不等式，先取对数化成函数不等式，再换元

t = \frac{1}{n}

转为连续变量问题——这是数列与导数结合的标准桥梁。

#数列不等式#取对数#换元

2024 年真题全国甲卷

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