2023 年全国甲卷·第21题

分步解析

1. 1「存在」问题分离参数：因 $x>0$，不等式等价于 $a\le \frac{\ln x}{x}$ 对某个 $x>0$ 成立。
2. 2故只需 $a\le {\max }_{x>0}\frac{\ln x}{x}$。
3. 3令 $g(x)=\frac{\ln x}{x}$，$g^{\prime }(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}$，在 $(0,\mathrm{e})$ 上为正、$(\mathrm{e},+\infty )$ 上为负。
4. 4故最大值为 $g(\mathrm{e})=\frac{1}{\mathrm{e}}$，所以 $a\le \frac{1}{\mathrm{e}}$。