证明：当 x R 时， e x x+1 ，并指出等号成立的条件。当且仅当 x=0 时取等。构造函数证不等式构造函数切线放缩不等式证明新课标I卷 2023

当且仅当 x = 0 时取等。构造函数 f ( x ) = e x − x − 1 ，只需证 f ( x ) ≥ 0 。求导： f ′ ( x ) = e x − 1 。令 f ′ ( x ) = 0 得 x = 0 。当 x < 0 时 e x < 1 ， f ′ < 0 ， f 递减；当 x > 0 时 f ′ > 0 ， f 递增。故 f 在 x = 0 处取得最小值 f ( 0 ) = 1 − 0 − 1 = 0 ，即 f ( x ) ≥ 0 对一切实数成立。等号当且仅当 x = 0 时成立，原不等式得证。

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2023 年新课标I卷·第19题

解答题★★★★☆ 较难改编题通法

证明：当

x \in R

时，

e^{x} \geq x + 1

，并指出等号成立的条件。

答案当且仅当

x = 0

时取等。

分步解析

1构造函数 $f (x) = e^{x} - x - 1$ ，只需证 $f (x) \geq 0$ 。
2求导： $f^{'} (x) = e^{x} - 1$ 。令 $f^{'} (x) = 0$ 得 $x = 0$ 。
3当 $x < 0$ 时 $e^{x} < 1$ ， $f^{'} < 0$ ， $f$ 递减；当 $x > 0$ 时 $f^{'} > 0$ ， $f$ 递增。
4故 $f$ 在 $x = 0$ 处取得最小值 $f (0) = 1 - 0 - 1 = 0$ ，即 $f (x) \geq 0$ 对一切实数成立。
5等号当且仅当 $x = 0$ 时成立，原不等式得证。

点评

e^{x} \geq x + 1

与

ln x \leq x - 1

是导数压轴题里最常用的两条切线放缩，本题就是它们的标准证明模板。

#构造函数#切线放缩#不等式证明

2023 年真题新课标I卷

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