2020 年全国I卷·第22题

分步解析

1. 1两边取自然对数（$\ln$ 单调递增，不改变不等号方向）：$ax\ge 2\ln x$。
2. 2因 $x>0$，两边同除以 $x$ 得 $a\ge \frac{2\ln x}{x}$ 对一切 $x>0$ 恒成立，即 $a\ge {\max }_{x>0}\frac{2\ln x}{x}$。
3. 3令 $g(x)=\frac{2\ln x}{x}$，$g^{\prime }(x)=\frac{2(1-\ln x)}{x^2}$，在 $(0,\mathrm{e})$ 上为正、在 $(\mathrm{e},+\infty )$ 上为负。
4. 4故最大值为 $g(\mathrm{e})=\frac{2}{\mathrm{e}}$。
5. 5所以 $a\ge \frac{2}{\mathrm{e}}$，最小值为 $\frac{2}{\mathrm{e}}$（此时 $x=\mathrm{e}$ 处取等，不等式恰好成立）。