2023 年全国乙卷·第22题

分步解析

1. 1换元把双变量化为单变量：令 $t=\frac{a}{b}>1$，则原不等式两边同除以 $b$ 后化为 $\frac{t-1}{\ln t}>\sqrt{t}$。
2. 2因 $\ln t>0$，等价于证 $t-1>\sqrt{t}\ln t$，即 $\frac{t-1}{\sqrt{t}}>\ln t$，也即 $\sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}}>\ln t$。
3. 3再令 $s=\sqrt{t}>1$，只需证 $s-\frac{1}{s}>2\ln s$。
4. 4构造 $g(s)=s-\frac{1}{s}-2\ln s$，$g^{\prime }(s)=1+\frac{1}{s^2}-\frac{2}{s}=\frac{(s-1{)}^2}{s^2}>0$（$s>1$）。
5. 5故 $g$ 在 $(1,+\infty )$ 上递增，$g(s)>g(1)=0$，原不等式得证。