若对任意 x>0 ，不等式 e ax ax+1 恒成立（ a>0 ），求 a 的取值范围。 a>0 时恒成立，即 a (0,+ ) 。同构变形同构换元切线放缩新课标I卷 2024

a > 0 时恒成立，即 a ∈ ( 0 , + ∞ ) 。令 t = a x 。因 a > 0 、 x > 0 ，故 t 取遍 ( 0 , + ∞ ) 。原不等式化为 e t ≥ t + 1 ，这与 a 无关。由基本放缩 e t ≥ t + 1 （等号仅在 t = 0 取到）知该式对一切 t > 0 严格成立。故对任意 a > 0 原不等式都成立，即 a ∈ ( 0 , + ∞ ) 。

高考数学考点题库/函数与导数综合压轴/同构变形

2024 年新课标I卷·第22题

解答题★★★★★ 压轴改编题巧法

若对任意

x > 0

，不等式

e^{a x} \geq a x + 1

恒成立（

a > 0

），求

a

的取值范围。

答案

a > 0

时恒成立，即

a \in (0, + \infty)

。

分步解析

1令 $t = a x$ 。因 $a > 0$ 、 $x > 0$ ，故 $t$ 取遍 $(0, + \infty)$ 。
2原不等式化为 $e^{t} \geq t + 1$ ，这与 $a$ 无关。
3由基本放缩 $e^{t} \geq t + 1$ （等号仅在 $t = 0$ 取到）知该式对一切 $t > 0$ 严格成立。
4故对任意 $a > 0$ 原不等式都成立，即 $a \in (0, + \infty)$ 。

点评换元把「双参数」变成「单变量」是同构思想的第一步：只要能整体换元，参数往往会自动消失。

#同构#换元#切线放缩

2024 年真题新课标I卷

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