证明：当 x>0 时， x e x x+ x+1 。结论成立，等号在 x e x =1 对应的点取到。同构变形同构变形指对互化放缩新课标I卷 2023

结论成立，等号在 x e x = 1 对应的点取到。把左边同构： x e x = e x + l n x （因 x > 0 时 x = e l n x ）。令 t = x + ln x ，则原不等式化为 e t ≥ t + 1 。由常用放缩 e t ≥ t + 1 对一切实数 t 成立（可由 f ( t ) = e t − t − 1 求导得最小值 0 证明）。故原不等式成立，等号当且仅当 t = 0 即 x + ln x = 0 时取到。

高考数学考点题库/函数与导数综合压轴/同构变形

2023 年新课标I卷·第22题

解答题★★★★★ 压轴改编题巧法

证明：当

x > 0

时，

x e^{x} \geq x + ln x + 1

。

答案结论成立，等号在

x e^{x} = 1

对应的点取到。

分步解析

1把左边同构： $x e^{x} = e^{x + l n x}$ （因 $x > 0$ 时 $x = e^{l n x}$ ）。
2令 $t = x + ln x$ ，则原不等式化为 $e^{t} \geq t + 1$ 。
3由常用放缩 $e^{t} \geq t + 1$ 对一切实数 $t$ 成立（可由 $f (t) = e^{t} - t - 1$ 求导得最小值 $0$ 证明）。
4故原不等式成立，等号当且仅当 $t = 0$ 即 $x + ln x = 0$ 时取到。

点评「

x e^{x} = e^{x + l n x}

」是同构题最核心的一步变形：把乘积形式变成指数形式后，两边就能凑成同一个函数。

#同构变形#指对互化#放缩

2023 年真题新课标I卷

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