2024 年全国甲卷·第22题

分步解析

1. 1两个零点满足 ${\mathrm{e}}^{x_1}=a{x}_1$ 与 ${\mathrm{e}}^{x_2}=a{x}_2$，且由 ${\mathrm{e}}^x>0$ 知 $x_1,x_2>0$。
2. 2两式分别取对数：$x_1=\ln a+\ln x_1$，$x_2=\ln a+\ln x_2$，两式相减消去 $a$ 得关键关系 $x_2-x_1=\ln x_2-\ln x_1$，即 $\frac{x_2-x_1}{\ln x_2-\ln x_1}=1$。
3. 3引理（对数均值不等式的上半部分）：当 $0<x_1<x_2$ 时 $\frac{x_2-x_1}{\ln x_2-\ln x_1}<\frac{x_1+x_2}{2}$。
4. 4引理的证明：令 $t=\frac{x_2}{x_1}>1$，不等式等价于 $\ln t>\frac{2(t-1)}{t+1}$。构造 $h(t)=\ln t-\frac{2(t-1)}{t+1}$，则 $h^{\prime }(t)=\frac{1}{t}-\frac{4}{(t+1{)}^2}=\frac{(t-1{)}^2}{t(t+1{)}^2}>0$，故 $h$ 在 $(1,+\infty )$ 上递增，$h(t)>h(1)=0$，引理得证。
5. 5把第二步的结论代入引理左边：$1<\frac{x_1+x_2}{2}$，故 $x_1+x_2>2$。