2020 年山东卷·第21题

分步解析

1. 1求导：$f^{\prime }(x)=(1-x){\mathrm{e}}^{-x}$，故 $f$ 在 $(-\infty ,1)$ 上递增、$(1,+\infty )$ 上递减，极大值点为 $x=1$。
2. 2不妨设 $x_1<1<x_2$（否则单调区间内不可能有 $f(x_1)=f(x_2)$）。
3. 3构造对称差函数 $F(x)=f(1+x)-f(1-x)$，$x>0$。计算 $F^{\prime }(x)=f^{\prime }(1+x)+f^{\prime }(1-x)=-x{\mathrm{e}}^{-(1+x)}+x{\mathrm{e}}^{-(1-x)}=x{\mathrm{e}}^{-1}\left({\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}\right)>0$（$x>0$）。
4. 4故 $F(x)>F(0)=0$，即 $f(1+x)>f(1-x)$ 对一切 $x>0$ 成立。
5. 5取 $x=x_2-1>0$，得 $f(x_2)>f(2-x_2)$，而 $f(x_2)=f(x_1)$，故 $f(x_1)>f(2-x_2)$。由 $x_1<1$、$2-x_2<1$ 且 $f$ 在 $(-\infty ,1)$ 上递增，得 $x_1>2-x_2$，即 $x_1+x_2>2$。