2020 年山东卷·第16题

分步解析

1. 1先降幂化一次：${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$，$\sqrt{3}\sin x\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x$。
2. 2故 $f(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x$。
3. 3用辅助角公式合并：$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x=\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$，故 $f(x)=\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)+\frac{1}{2}$。
4. 4（1）最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。
5. 5（2）当 $\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=1$ 时取最大值 $1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。