三角恒等变换

1. 1逆用二倍角公式 $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$，取 $\theta =\frac{\pi }{8}$。
2. 2原式 $=\cos \frac{\pi }{4}$。
3. 3故值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，选 A。

点评看到 ${\cos }^2-{\sin }^2$、$2\sin \cos$、$1-2{\sin }^2$ 这三种结构，一律立刻逆用二倍角公式合并。

1. 1由平方关系 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 得 ${\cos }^2\alpha =1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$。
2. 2由 $\alpha$ 在第二象限知 $\cos \alpha <0$，故 $\cos \alpha =-\frac{4}{5}$。
3. 3由商关系 $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac{3}{4}$，选 A。

点评开平方后的符号必须由象限决定，这是同角关系题唯一的失分点。

1. 1把 $15^{\circ }$ 拆成特殊角之差：$15^{\circ }=45^{\circ }-30^{\circ }$。
2. 2由两角差的正弦公式：$\sin 15^{\circ }=\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }-\cos 45^{\circ }\sin 30^{\circ }$。
3. 3代值：$=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$。

1. 1观察两个角的关系：$\left(\frac{\pi }{3}+\alpha \right)+\left(\frac{\pi }{6}-\alpha \right)=\frac{\pi }{2}$，二者互余。
2. 2由诱导公式 $\sin \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)=\cos \theta$，取 $\theta =\frac{\pi }{3}+\alpha$。
3. 3得 $\sin \left(\frac{\pi }{6}-\alpha \right)=\cos \left(\frac{\pi }{3}+\alpha \right)=\frac{1}{3}$，选 A。

点评给值求值题先算两个角的和或差：和为 $\frac{\pi }{2}$ 用互余诱导，和为 $\pi$ 用互补诱导，能避开全部展开计算。

1. 1由 $\alpha$ 为锐角与 $\sin \alpha =\frac{3}{5}$ 得 $\cos \alpha =\frac{4}{5}$。
2. 2由 $\alpha ,\beta$ 均为锐角知 $\alpha +\beta \in (0,\pi )$，又 $\cos (\alpha +\beta )<0$，故 $\alpha +\beta$ 为钝角，$\sin (\alpha +\beta )=\frac{12}{13}$。
3. 3拆角：$\beta =(\alpha +\beta )-\alpha$，故 $\sin \beta =\sin (\alpha +\beta )\cos \alpha -\cos (\alpha +\beta )\sin \alpha$。
4. 4代入：$\frac{12}{13}\cdot \frac{4}{5}-\left(-\frac{5}{13}\right)\cdot \frac{3}{5}=\frac{48}{65}+\frac{15}{65}=\frac{63}{65}$。

点评拆角是给值求值的灵魂：把要求的角写成已知角的和差，$\beta =(\alpha +\beta )-\alpha$ 是最常见的一种。

1. 1用「齐次化」把二倍角公式化成正切：$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta =\frac{2\sin \theta \cos \theta }{{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta }$。
2. 2分子分母同除以 ${\cos }^2\theta$：$\sin 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1+{\tan }^2\theta }$。
3. 3代入 $\tan \theta =2$：$\frac{4}{1+4}=\frac{4}{5}$。

点评已知正切求正余弦的表达式，一律用「除以 ${\sin }^2+{\cos }^2$」的齐次化技巧，可以避免讨论象限。

1. 1选用只含 $\cos \alpha$ 的二倍角形式：$\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$。
2. 2代入 $\cos \alpha =\frac{1}{3}$：$2\times \frac{1}{9}-1=\frac{2}{9}-1$。
3. 3计算得 $-\frac{7}{9}$，选 A。

点评二倍角余弦有三种形式，按已知量选择：已知 $\cos$ 用 $2{\cos }^2-1$，已知 $\sin$ 用 $1-2{\sin }^2$，可省去开平方与象限讨论。

1. 1分子分母同除以 $\cos \alpha$（$\cos \alpha \ne 0$，否则 $\tan \alpha$ 无意义）。
2. 2得 $\frac{\tan \alpha +1}{\tan \alpha -1}$。
3. 3代入 $\tan \alpha =2$：$\frac{3}{1}=3$。

1. 1振幅 $A=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}=2$。
2. 2提出振幅：$\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x\right)$。
3. 3括号内凑成两角和：$\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{\pi }{6}$，$\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}$。
4. 4故原式 $=2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$。

点评辅助角公式 $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$ 中 $\tan \phi =\frac{b}{a}$，是把三角函数化为「一角一函数」的唯一入口。

1. 1先降幂化一次：${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$，$\sqrt{3}\sin x\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x$。
2. 2故 $f(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x$。
3. 3用辅助角公式合并：$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x=\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$，故 $f(x)=\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)+\frac{1}{2}$。
4. 4（1）最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。
5. 5（2）当 $\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=1$ 时取最大值 $1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。

点评三角函数解答题第一步永远是「降幂 + 辅助角」化成 $A\sin (\omega x+\phi )+B$，后面所有问题都由这一式回答。