2020 年山东卷·第15题

分步解析

1. 1以 $F_1{F}_2$ 为直径的圆上的点都满足 $\angle F_{1}P{F}_2=90^{\circ }$，该圆半径为 $c$，圆心为原点。
2. 2椭圆上存在这样的点，等价于该圆与椭圆有公共点，即圆的半径不小于短半轴：$c\ge b$。
3. 3两边平方并用 $b^2=a^2-c^2$：$c^2\ge a^2-c^2$，即 $2c^2\ge a^2$。
4. 4同除以 $a^2$ 得 $e^2\ge \frac{1}{2}$，故 $e\ge \frac{\sqrt{2}}{2}$；又椭圆有 $e<1$，故 $e\in \left[\frac{\sqrt{2}}{2},1\right)$。