椭圆

1. 1比较分母：$25>16$，说明 $y^2$ 项的分母更大，焦点在 $y$ 轴上。
2. 2故 $a^2=25$，$b^2=16$，$c^2=25-16=9$，$c=3$。
3. 3焦点坐标为 $(0,3)$ 与 $(0,-3)$。

点评焦点位置只看「哪个分母大」，与 $x$、$y$ 的字母无关，这是最常见的方向性错误。

1. 1由标准方程读出 $a^2=4$，$b^2=3$，故 $a=2$。
2. 2由 $c^2=a^2-b^2=4-3=1$ 得 $c=1$。
3. 3离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，选 A。

点评椭圆是 $c^2=a^2-b^2$，双曲线是 $c^2=a^2+b^2$，两个关系式的符号绝不能记混。

1. 1联立并消元：把 $y=x+1$ 代入椭圆方程得 $\frac{x^2}{2}+(x+1{)}^2=1$，整理为 $3x^2+4x=0$。
2. 2由韦达定理：$x_1+x_2=-\frac{4}{3}$，$x_1{x}_2=0$。
3. 3$(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2=\frac{16}{9}$。
4. 4弦长公式：$|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{2}\times \frac{4}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$。

点评弦长公式 $|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$ 中的 $|x_1-x_2|$ 一律通过韦达定理算 $(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2$，不要去解方程求根。

1. 1由方程得 $a=5$。
2. 2由椭圆定义，$|A{F}_1|+|A{F}_2|=2a=10$，$|B{F}_1|+|B{F}_2|=2a=10$。
3. 3三角形周长 $=|AB|+|A{F}_2|+|B{F}_2|=(|A{F}_1|+|B{F}_1|)+|A{F}_2|+|B{F}_2|$。
4. 4重新分组即为两式之和：$=4a=20$。

点评过焦点的弦所构成的三角形，周长恒为 $4a$，与直线倾斜角无关——这是椭圆定义最典型的应用。

1. 1设焦点 $F(c,0)$，短轴端点 $B_1(0,b)$、$B_2(0,-b)$。
2. 2由对称性 $|F{B}_1|=|F{B}_2|=\sqrt{b^2+c^2}=a$，故只需 $|B_1{B}_2|=2b$ 也等于 $a$。
3. 3由等边条件 $2b=a$，即 $b=\frac{a}{2}$。
4. 4代入 $c^2=a^2-b^2=a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4}$，得 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

点评「焦点与短轴端点」的连线长恒为 $a$，这一条结论能把很多几何条件迅速转化成 $a$、$b$、$c$ 的方程。

1. 1由题意 $b=c$。
2. 2代入 $a^2=b^2+c^2=2c^2$，故 $a=\sqrt{2}c$。
3. 3离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{c}{\sqrt{2}c}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

点评求离心率的通法是把已知条件翻译成关于 $a$、$c$ 的一个齐次方程，再整体除以 $a$ 化成关于 $e$ 的方程。

1. 1由长轴长 $2a=6$ 得 $a=3$。
2. 2由 $e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$ 得 $c=2$。
3. 3由 $b^2=a^2-c^2=9-4=5$。
4. 4焦点在 $x$ 轴上，故方程为 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$。

1. 1设弦的两端点为 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，均在椭圆上：$\frac{x_1^2}{16}+\frac{y_1^2}{4}=1$，$\frac{x_2^2}{16}+\frac{y_2^2}{4}=1$。
2. 2两式相减（点差法）：$\frac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{16}+\frac{(y_1+y_2)(y_1-y_2)}{4}=0$。
3. 3由中点 $M(2,1)$ 得 $x_1+x_2=4$，$y_1+y_2=2$，代入得 $\frac{4(x_1-x_2)}{16}+\frac{2(y_1-y_2)}{4}=0$。
4. 4整理得 $\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-\frac{1}{2}$，即斜率为 $-\frac{1}{2}$。

点评中点弦问题一律用点差法：两点代入作差，把「中点坐标」与「斜率」直接联系起来，避免联立方程的大计算量。

1. 1以 $F_1{F}_2$ 为直径的圆上的点都满足 $\angle F_{1}P{F}_2=90^{\circ }$，该圆半径为 $c$，圆心为原点。
2. 2椭圆上存在这样的点，等价于该圆与椭圆有公共点，即圆的半径不小于短半轴：$c\ge b$。
3. 3两边平方并用 $b^2=a^2-c^2$：$c^2\ge a^2-c^2$，即 $2c^2\ge a^2$。
4. 4同除以 $a^2$ 得 $e^2\ge \frac{1}{2}$，故 $e\ge \frac{\sqrt{2}}{2}$；又椭圆有 $e<1$，故 $e\in \left[\frac{\sqrt{2}}{2},1\right)$。

点评「椭圆上存在点对两焦点张直角」等价于 $b\le c$，这是离心率范围题的经典模型，务必记住其几何来源。

1. 1记 $m=|P{F}_1|$，$n=|P{F}_2|$。由椭圆定义 $m+n=2a=4$。
2. 2由余弦定理：$|F_1{F}_2{|}^2=m^2+n^2-2mn\cos 60^{\circ }$，其中 $|F_1{F}_2|=2c=2\sqrt{3}$。
3. 3即 $12=(m+n{)}^2-2mn-mn=16-3mn$，解得 $mn=\frac{4}{3}$。
4. 4面积 $S=\frac{1}{2}mn\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\times \frac{4}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

点评焦点三角形面积有秒杀公式 $S=b^2\tan \frac{\theta }{2}$：本题 $b^2=1$，$\tan 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$，结果一致。