高考数学考点题库/椭圆/离心率

2022 年北京卷·第16题

填空题★★★★☆ 较难改编题通法

已知椭圆的一个焦点与短轴两端点构成等边三角形，则其离心率为＿＿＿＿＿＿。

答案

\frac{3}{2}

分步解析

1设焦点 $F (c, 0)$ ，短轴端点 $B_{1} (0, b)$ 、 $B_{2} (0, - b)$ 。
2由对称性 $∣ F B_{1} ∣ = ∣ F B_{2} ∣ = b^{2} + c^{2} = a$ ，故只需 $∣ B_{1} B_{2} ∣ = 2 b$ 也等于 $a$ 。
3由等边条件 $2 b = a$ ，即 $b = \frac{a}{2}$ 。
4代入 $c^{2} = a^{2} - b^{2} = a^{2} - \frac{a ^{2}}{4} = \frac{3 a ^{2}}{4}$ ，得 $e = \frac{c}{a} = \frac{3}{2}$ 。

点评「焦点与短轴端点」的连线长恒为

a

，这一条结论能把很多几何条件迅速转化成

a

、

b

、

c

的方程。

#离心率#几何条件#等边三角形

2022 年真题北京卷

同考点推荐椭圆 · 离心率

第16题填空★★★☆☆椭圆·离心率#离心率 #齐次方程 #椭圆改编查看 →第15题填空★★★★☆椭圆·离心率#离心率范围 #直角 #存在性改编查看 →第13题填空★★★☆☆椭圆·椭圆的定义与标准方程#焦点位置 #标准方程 #椭圆改编查看 →第5题单选★★☆☆☆椭圆·椭圆的定义与标准方程#椭圆 #离心率 #标准方程改编查看 →

想按考点连续练习？前往椭圆专题页查看全部真题与解析。