已知数列 a n 的通项为 a n =2n+(-1) n ，求前 2n 项和 S 2n 。 S 2n =4n 2 +2n 分组求和分组求和奇偶配对等差求和新高考I卷 2020

S 2 n = 4 n 2 + 2 n 把和拆成两组： S 2 n = ∑ k = 1 2 n 2 k + ∑ k = 1 2 n ( − 1 ) k 。第一组是等差数列求和： 2 ( 1 + 2 + ⋯ + 2 n ) = 2 ⋅ 2 2 n ( 2 n + 1 ) = 2 n ( 2 n + 1 ) 。第二组中 − 1 与 + 1 两两配对，共 n 对，每对和为 0 ，故该组和为 0 。所以 S 2 n = 2 n ( 2 n + 1 ) = 4 n 2 + 2 n 。

高考数学考点题库/数列求和与递推/分组求和

2020 年新高考I卷·第18题

解答题★★★★☆ 较难改编题通法

已知数列

{a_{n}}

的通项为

a_{n} = 2 n + (- 1)^{n}

，求前

2 n

项和

S_{2 n}

。

答案

S_{2 n} = 4 n^{2} + 2 n

分步解析

1把和拆成两组： $S_{2 n} = \sum_{k = 1}^{2 n} 2 k + \sum_{k = 1}^{2 n} (- 1)^{k}$ 。
2第一组是等差数列求和： $2 (1 + 2 + \dots + 2 n) = 2 \cdot \frac{2 n ( 2 n + 1 )}{2} = 2 n (2 n + 1)$ 。
3第二组中 $- 1$ 与 $+ 1$ 两两配对，共 $n$ 对，每对和为 $0$ ，故该组和为 $0$ 。
4所以 $S_{2 n} = 2 n (2 n + 1) = 4 n^{2} + 2 n$ 。

点评通项由「不同类型的部分相加」构成时一律分组求和；含

(- 1)^{n}

的项要按奇偶配对，并注意项数是否为偶数。

#分组求和#奇偶配对#等差求和

2020 年真题新高考I卷

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