求和： 1 1 2 + 1 2 3 + + 1 n(n+1) 。 n n+1 裂项相消裂项相消分式数列求和新课标I卷 2024

n + 1 n 先裂项： k ( k + 1 ) 1 = k 1 − k + 1 1 。逐项相加： ( 1 − 2 1 ) + ( 2 1 − 3 1 ) + ⋯ + ( n 1 − n + 1 1 ) 。中间项两两抵消，只剩首尾： 1 − n + 1 1 。通分得 n + 1 n 。

2024 年新课标I卷·第18题

解答题★★★☆☆ 中档改编题通法

求和：

\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \dots + \frac{1}{n ( n + 1 )}

。

答案

\frac{n}{n + 1}

1先裂项： $\frac{1}{k ( k + 1 )} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$ 。
2逐项相加： $(1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})$ 。
3中间项两两抵消，只剩首尾： $1 - \frac{1}{n + 1}$ 。
4通分得 $\frac{n}{n + 1}$ 。

点评裂项后一定要写出前两项与最后两项，明确「消去哪些、剩下哪些」，这是解答题的采分点。

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