2024 年全国乙卷·第17题

分步解析

1. 1分母有理化即为裂项：$\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(\sqrt{k+1}{)}^2-(\sqrt{k}{)}^2}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$。
2. 2逐项相加：$(\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\cdots +(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$。
3. 3中间项全部抵消，只剩 $\sqrt{n+1}-\sqrt{1}$。
4. 4故原和为 $\sqrt{n+1}-1$。