已知数列 a n 满足 a 1 =1 ， a n+1 a n = n n+1 ，求 a n 。 a n = 1 n 由递推关系求通项累乘法递推数列约分全国甲卷 2023

a n = n 1 用累乘法： a 1 a n = a 1 a 2 ⋅ a 2 a 3 ⋯ a n − 1 a n 。右边 = 2 1 × 3 2 × ⋯ × n n − 1 ，相邻分子分母连续约分，只剩 n 1 。故 a n = a 1 ⋅ n 1 = n 1 （ n ≥ 2 ）。检验 n = 1 时 1 1 = 1 = a 1 ，故对一切 n 成立。

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2023 年全国甲卷·第17题

解答题★★★★☆ 较难改编题通法

已知数列

{a_{n}}

满足

a_{1} = 1

，

\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{n}{n + 1}

，求

a_{n}

。

答案

a_{n} = \frac{1}{n}

分步解析

1用累乘法： $\frac{a _{n}}{a _{1}} = \frac{a _{2}}{a _{1}} \cdot \frac{a _{3}}{a _{2}} \dots \frac{a _{n}}{a _{n - 1}}$ 。
2右边 $= \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \dots \times \frac{n - 1}{n}$ ，相邻分子分母连续约分，只剩 $\frac{1}{n}$ 。
3故 $a_{n} = a_{1} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n}$ （ $n \geq 2$ ）。
4检验 $n = 1$ 时 $\frac{1}{1} = 1 = a_{1}$ ，故对一切 $n$ 成立。

#累乘法#递推数列#约分

2023 年真题全国甲卷

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