2023 年全国甲卷·第17题

分步解析

1. 1用累乘法：$\frac{a_n}{a_1}=\frac{a_2}{a_1}\cdot \frac{a_3}{a_2}\cdots \frac{a_n}{a_{n-1}}$。
2. 2右边 $=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \cdots \times \frac{n-1}{n}$，相邻分子分母连续约分，只剩 $\frac{1}{n}$。
3. 3故 $a_n=a_1\cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{n}$（$n\ge 2$）。
4. 4检验 $n=1$ 时 $\frac{1}{1}=1=a_1$，故对一切 $n$ 成立。