证明：对任意正整数 n ，都有 (n+1)<1+ 1 2 + 1 3 + + 1 n 。结论成立。数列不等式与导数结合数列不等式放缩求和裂项新课标I卷 2020

结论成立。由常用放缩 ln ( 1 + t ) < t （ t > 0 ），取 t = k 1 得 ln k k + 1 < k 1 。对 k = 1 , 2 , ⋯ , n 逐个写出并求和： ∑ k = 1 n ln k k + 1 < ∑ k = 1 n k 1 。左边可裂项（对数相加变真数相乘）： ln 1 2 + ln 2 3 + ⋯ + ln n n + 1 = ln ( n + 1 ) 。故 ln ( n + 1 ) < 1 + 2 1 + ⋯ + n 1 ，命题得证。

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2020 年新课标I卷·第22题

解答题★★★★★ 压轴改编题通法

证明：对任意正整数

n

，都有

ln (n + 1) < 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}

。

答案结论成立。

分步解析

1由常用放缩 $ln (1 + t) < t$ （ $t > 0$ ），取 $t = \frac{1}{k}$ 得 $ln \frac{k + 1}{k} < \frac{1}{k}$ 。
2对 $k = 1, 2, \dots, n$ 逐个写出并求和： $\sum_{k = 1}^{n} ln \frac{k + 1}{k} < \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$ 。
3左边可裂项（对数相加变真数相乘）： $ln \frac{2}{1} + ln \frac{3}{2} + \dots + ln \frac{n + 1}{n} = ln (n + 1)$ 。
4故 $ln (n + 1) < 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$ ，命题得证。

点评数列不等式的通法：先由函数不等式得到一个「关于

k

的单项估计」，再对

k

求和；对数相加会自动裂项，这是本题的巧点。

#数列不等式#放缩求和#裂项

2020 年真题新课标I卷

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