证明：对任意正整数 n 2 ，都有 1 2 2 + 1 3 2 + + 1 n 2 <1- 1 n 。结论成立。数列不等式与导数结合放缩法裂项相消数列不等式全国甲卷 2022

结论成立。对每一项放缩：当 k ≥ 2 时 k 2 1 < k ( k − 1 ) 1 。而 k ( k − 1 ) 1 = k − 1 1 − k 1 ，可以裂项。求和： ∑ k = 2 n k 2 1 < ∑ k = 2 n ( k − 1 1 − k 1 ) = 1 − n 1 。故原不等式成立。

高考数学考点题库/函数与导数综合压轴/数列不等式与导数结合

2022 年全国甲卷·第22题

解答题★★★★★ 压轴改编题巧法

证明：对任意正整数

n \geq 2

，都有

\frac{1}{2 ^{2}} + \frac{1}{3 ^{2}} + \dots + \frac{1}{n ^{2}} < 1 - \frac{1}{n}

。

答案结论成立。

分步解析

1对每一项放缩：当 $k \geq 2$ 时 $\frac{1}{k ^{2}} < \frac{1}{k ( k - 1 )}$ 。
2而 $\frac{1}{k ( k - 1 )} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}$ ，可以裂项。
3求和： $\sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{k ^{2}} < \sum_{k = 2}^{n} (\frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}) = 1 - \frac{1}{n}$ 。
4故原不等式成立。

点评「先放缩成可裂项的形式，再求和」是数列不等式最常用的思路；放缩的尺度要恰好——放得太松结论不成立，太紧则无法裂项。

#放缩法#裂项相消#数列不等式

2022 年真题全国甲卷

同考点推荐函数与导数综合压轴 · 数列不等式与导数结合

第22题解答★★★★★函数与导数综合压轴·数列不等式与导数结合#数列不等式 #放缩求和 #裂项改编查看 →第22题解答★★★★★函数与导数综合压轴·隐零点#极值点偏移 #零点 #对称构造改编查看 →第22题解答★★★★★函数与导数综合压轴·同构变形#同构 #换元 #切线放缩改编查看 →第22题解答★★★★★函数与导数综合压轴·双变量问题#双变量 #换元 #对数均值不等式改编查看 →

想按考点连续练习？前往函数与导数综合压轴专题页查看全部真题与解析。