2021 年全国甲卷·第20题

分步解析

1. 1因 $x>0$，两边同除以 $x$ 得等价不等式 $\ln x+\frac{1}{x}\ge a$ 对一切 $x>0$ 成立。
2. 2故只需 $a\le {\min }_{x>0}\left(\ln x+\frac{1}{x}\right)$。
3. 3令 $h(x)=\ln x+\frac{1}{x}$，$h^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$，在 $(0,1)$ 上为负、$(1,+\infty )$ 上为正。
4. 4故最小值为 $h(1)=\ln 1+1=1$。
5. 5所以 $a\le 1$。