已知 a n = 1 n(n+2) ，则其前 n 项和 T n = ＿＿＿＿＿＿。 3 4 - 1 2(n+1) - 1 2(n+2) 裂项相消裂项相消隔项相消系数全国甲卷 2021

Question

已知 a n = 1 n(n+2) ，则其前 n 项和 T n = ＿＿＿＿＿＿。 3 4 - 1 2(n+1) - 1 2(n+2) 裂项相消 裂项相消 隔项相消 系数 全国甲卷 2021

Accepted Answer

\frac{3}{4} - \frac{1}{2 ( n + 1 )} - \frac{1}{2 ( n + 2 )}

裂项：

\frac{1}{k ( k + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2})

。求和：

T_{n} = \frac{1}{2} [(1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2})]

。这是「隔一项相消」，前面剩下

1

与

\frac{1}{2}

，后面剩下

- \frac{1}{n + 1}

与

- \frac{1}{n + 2}

。故

T_{n} = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2}) = \frac{3}{4} - \frac{1}{2 ( n + 1 )} - \frac{1}{2 ( n + 2 )}

。

2021 年全国甲卷·第16题