已知数列 a n 的通项为 a n =n 2 n ，求其前 n 项和 T n 。 T n =(n-1)2 n+1 +2 错位相减错位相减等差乘等比求和新课标I卷 2023

Question

已知数列 a n 的通项为 a n =n 2 n ，求其前 n 项和 T n 。 T n =(n-1)2 n+1 +2 错位相减 错位相减 等差乘等比 求和 新课标I卷 2023

Accepted Answer

T_{n} = (n - 1) 2^{n + 1} + 2

写出

T_{n} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2^{3} + \dots + n \cdot 2^{n}

。两边同乘公比

2

：

2 T_{n} = 1 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2^{3} + \dots + (n - 1) 2^{n} + n \cdot 2^{n + 1}

。错位相减（上式减下式）：

- T_{n} = 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{n} - n \cdot 2^{n + 1}

。中间是等比求和：

2 + 2^{2} + \dots + 2^{n} = \frac{2 ( 2 ^{n} - 1 )}{2 - 1} = 2^{n + 1} - 2

。故

- T_{n} = 2^{n + 1} - 2 - n \cdot 2^{n + 1}

，即

T_{n} = (n - 1) 2^{n + 1} + 2

。

2023 年新课标I卷·第18题