已知函数 f(x)= x x ，比较 e 与 e 的大小。 e > e 隐零点比较大小取对数构造函数全国甲卷 2021

e π > π e 两边取自然对数：比较 π ln e = π 与 e ln π 的大小，即比较 e ln e 与 π ln π （两边同除以 e π ）。研究 f ( x ) = x ln x ： f ′ ( x ) = x 2 1 − ln x ，在 ( 0 , e ) 上为正、 ( e , + ∞ ) 上为负，故 x = e 是最大值点。因 π > e ，由单调递减得 f ( π ) < f ( e ) ，即 π ln π < e 1 。两边乘以 e π > 0 ： e ln π < π ，即 ln π e < ln e π 。由 ln 单调递增得 π e < e π 。

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2021 年全国甲卷·第21题

解答题★★★★★ 压轴改编题通法

已知函数

f (x) = \frac{ln x}{x}

，比较

e^{π}

与

π^{e}

的大小。

答案

e^{π} > π^{e}

分步解析

1两边取自然对数：比较 $π ln e = π$ 与 $e ln π$ 的大小，即比较 $\frac{ln e}{e}$ 与 $\frac{ln π}{π}$ （两边同除以 $e π$ ）。
2研究 $f (x) = \frac{ln x}{x}$ ： $f^{'} (x) = \frac{1 - ln x}{x ^{2}}$ ，在 $(0, e)$ 上为正、 $(e, + \infty)$ 上为负，故 $x = e$ 是最大值点。
3因 $π > e$ ，由单调递减得 $f (π) < f (e)$ ，即 $\frac{ln π}{π} < \frac{1}{e}$ 。
4两边乘以 $e π > 0$ ： $e ln π < π$ ，即 $ln π^{e} < ln e^{π}$ 。
5由 $ln$ 单调递增得 $π^{e} < e^{π}$ 。

点评形如

a^{b}

与

b^{a}

的比较，一律取对数后转化为

\frac{l n x}{x}

的大小比较——该函数在

x = e

处取最大值，是这类题的钥匙。

#比较大小#取对数#构造函数

2021 年真题全国甲卷

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