已知 f(x)=x x+x ，求 f(x) 在 (0,+ ) 上的最小值。最小值为 - e -2 ，在 x= e -2 处取得。隐零点最值导数对数函数新课标I卷 2022

最小值为 − e − 2 ，在 x = e − 2 处取得。求导： f ′ ( x ) = ln x + 1 + 1 = ln x + 2 。令 f ′ ( x ) = 0 得 ln x = − 2 ，即 x = e − 2 。在 ( 0 , e − 2 ) 上 f ′ < 0 递减，在 ( e − 2 , + ∞ ) 上 f ′ > 0 递增，故 x = e − 2 为最小值点。最小值 f ( e − 2 ) = e − 2 × ( − 2 ) + e − 2 = − e − 2 。

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2022 年新课标I卷·第22题

解答题★★★★★ 压轴改编题通法

已知

f (x) = x ln x + x

，求

f (x)

在

(0, + \infty)

上的最小值。

答案最小值为

- e^{- 2}

，在

x = e^{- 2}

处取得。

分步解析

1求导： $f^{'} (x) = ln x + 1 + 1 = ln x + 2$ 。
2令 $f^{'} (x) = 0$ 得 $ln x = - 2$ ，即 $x = e^{- 2}$ 。
3在 $(0, e^{- 2})$ 上 $f^{'} < 0$ 递减，在 $(e^{- 2}, + \infty)$ 上 $f^{'} > 0$ 递增，故 $x = e^{- 2}$ 为最小值点。
4最小值 $f (e^{- 2}) = e^{- 2} \times (- 2) + e^{- 2} = - e^{- 2}$ 。

#最值#导数#对数函数

2022 年真题新课标I卷

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