2021 年新高考I卷·第22题

分步解析

1. 1先证右侧。令 $f(x)=x-\ln (1+x)$，$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}>0$（$x>0$），故 $f$ 递增。
2. 2又 $f(0)=0$，所以 $x>0$ 时 $f(x)>0$，即 $\ln (1+x)<x$。
3. 3再证左侧。令 $g(x)=\ln (1+x)-\frac{x}{1+x}$，$g^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x{)}^2}=\frac{x}{(1+x{)}^2}>0$，故 $g$ 递增。
4. 4又 $g(0)=0$，所以 $x>0$ 时 $g(x)>0$，即 $\ln (1+x)>\frac{x}{1+x}$。
5. 5两式合并即得 $\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$。