已知数列 a n 的前 n 项和 S n =n 2 +n ，则 a n = ＿＿＿＿＿＿。 a n =2n 等差数列通项与前n项和 S与a的关系通项公式分类验证新高考I卷 2021

a n = 2 n 当 n ≥ 2 时， a n = S n − S n − 1 = ( n 2 + n ) − [ ( n − 1 ) 2 + ( n − 1 ) ] 。展开： ( n 2 + n ) − ( n 2 − 2 n + 1 + n − 1 ) = ( n 2 + n ) − ( n 2 − n ) = 2 n 。验证首项： a 1 = S 1 = 1 + 1 = 2 ，与 2 n 在 n = 1 时的值一致。故 a n = 2 n （对一切 n ≥ 1 成立）。

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2021 年新高考I卷·第16题

填空题★★★☆☆ 中档改编题通法

已知数列

{a_{n}}

的前

n

项和

S_{n} = n^{2} + n

，则

a_{n} =

＿＿＿＿＿＿。

答案

a_{n} = 2 n

分步解析

1当 $n \geq 2$ 时， $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = (n^{2} + n) - [(n - 1)^{2} + (n - 1)]$ 。
2展开： $(n^{2} + n) - (n^{2} - 2 n + 1 + n - 1) = (n^{2} + n) - (n^{2} - n) = 2 n$ 。
3验证首项： $a_{1} = S_{1} = 1 + 1 = 2$ ，与 $2 n$ 在 $n = 1$ 时的值一致。
4故 $a_{n} = 2 n$ （对一切 $n \geq 1$ 成立）。

点评由

S_{n}

求

a_{n}

必须分

n = 1

与

n \geq 2

两步，最后检验首项能否并入统一表达式——这一步是标准得分点。

#S与a的关系#通项公式#分类验证

2021 年真题新高考I卷

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