已知数列 a n 满足 a 1 =1 ， a n+1 =a n +n ，求 a n 。 a n = n 2 -n+2 2 由递推关系求通项累加法递推数列通项新高考I卷 2021

a n = 2 n 2 − n + 2 用累加法： a n − a 1 = ( a 2 − a 1 ) + ( a 3 − a 2 ) + ⋯ + ( a n − a n − 1 ) 。每个差为 a k + 1 − a k = k ，故右边 = 1 + 2 + ⋯ + ( n − 1 ) = 2 n ( n − 1 ) 。所以 a n = 1 + 2 n ( n − 1 ) = 2 n 2 − n + 2 （ n ≥ 2 ）。检验 n = 1 ：代入得 2 1 − 1 + 2 = 1 = a 1 ，故对一切 n 成立。

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2021 年新高考I卷·第17题

解答题★★★☆☆ 中档改编题通法

已知数列

{a_{n}}

满足

a_{1} = 1

，

a_{n + 1} = a_{n} + n

，求

a_{n}

。

答案

a_{n} = \frac{n ^{2} - n + 2}{2}

分步解析

1用累加法： $a_{n} - a_{1} = (a_{2} - a_{1}) + (a_{3} - a_{2}) + \dots + (a_{n} - a_{n - 1})$ 。
2每个差为 $a_{k + 1} - a_{k} = k$ ，故右边 $= 1 + 2 + \dots + (n - 1) = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ 。
3所以 $a_{n} = 1 + \frac{n ( n - 1 )}{2} = \frac{n ^{2} - n + 2}{2}$ （ $n \geq 2$ ）。
4检验 $n = 1$ ：代入得 $\frac{1 - 1 + 2}{2} = 1 = a_{1}$ ，故对一切 $n$ 成立。

点评差是

n

的式子用累加法，商是

n

的式子用累乘法；两种方法都要在最后检验

n = 1

。

#累加法#递推数列#通项

2021 年真题新高考I卷

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