已知数列 a n 满足 a 1 =1 ， a n+1 =2a n +1 ，求 a n 的通项公式。 a n =2 n -1 由递推关系求通项递推数列构造等比待定系数新课标I卷 2022

a n = 2 n − 1 构造等比：在递推式两边同加 1 ，得 a n + 1 + 1 = 2 ( a n + 1 ) 。故数列 { a n + 1 } 是以 a 1 + 1 = 2 为首项、 2 为公比的等比数列。所以 a n + 1 = 2 ⋅ 2 n − 1 = 2 n 。即 a n = 2 n − 1 。

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2022 年新课标I卷·第17题

解答题★★★★☆ 较难改编题通法

已知数列

{a_{n}}

满足

a_{1} = 1

，

a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1

，求

{a_{n}}

的通项公式。

答案

a_{n} = 2^{n} - 1

分步解析

1构造等比：在递推式两边同加 $1$ ，得 $a_{n + 1} + 1 = 2 (a_{n} + 1)$ 。
2故数列 ${a_{n} + 1}$ 是以 $a_{1} + 1 = 2$ 为首项、 $2$ 为公比的等比数列。
3所以 $a_{n} + 1 = 2 \cdot 2^{n - 1} = 2^{n}$ 。
4即 $a_{n} = 2^{n} - 1$ 。

点评形如

a_{n + 1} = p a_{n} + q

（

p \neq = 1

）的递推，一律设

a_{n + 1} + λ = p (a_{n} + λ)

待定

λ = \frac{q}{p - 1}

，本题

λ = 1

。

#递推数列#构造等比#待定系数

2022 年真题新课标I卷

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