2022 年新课标I卷·第19题

分步解析

1. 1构造 $g(x)=x-1-\ln x$，定义域 $(0,+\infty )$，只需证 $g(x)\ge 0$。
2. 2求导：$g^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$。
3. 3在 $(0,1)$ 上 $g^{\prime }<0$ 递减，在 $(1,+\infty )$ 上 $g^{\prime }>0$ 递增，故 $x=1$ 为最小值点。
4. 4最小值 $g(1)=1-1-\ln 1=0$，所以 $g(x)\ge 0$，即 $\ln x\le x-1$，当且仅当 $x=1$ 取等。