2022 年全国乙卷·第21题

分步解析

1. 1构造 $f(x)=x-\sin x$，只需证 $x>0$ 时 $f(x)>0$。
2. 2求导：$f^{\prime }(x)=1-\cos x\ge 0$，且等号仅在 $x=2k\pi$ 这些孤立点成立。
3. 3故 $f$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调递增（导数非负且不恒为零）。
4. 4又 $f(0)=0$，所以 $x>0$ 时 $f(x)>f(0)=0$，即 $\sin x<x$。