已知等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ，且 a 1 >0 ， S 5 =S 9 ，则（）公差 d<0 a 7 =0 S 7 最大 S 14 =0 ACD 数列的性质多选题等差数列前n项和新高考I卷 2023

ACD 由 S 9 = S 5 得 a 6 + a 7 + a 8 + a 9 = 0 ，即 4 a 1 + 26 d = 0 ，化简为 2 a 1 + 13 d = 0 。 A 对：由 2 a 1 = − 13 d 与 a 1 > 0 得 d < 0 。 B 错： a 7 = a 1 + 6 d = − 2 13 d + 6 d = − 2 d ，因 d < 0 故 a 7 > 0 ，并不等于 0 。 C 对： a 8 = a 1 + 7 d = 2 d < 0 ，即前 7 项为正、从第 8 项起为负，故 S 7 最大。 D 对： S 14 = 2 14 ( a 1 + a 14 ) = 7 ( 2 a 1 + 13 d ) = 0 。故选 ACD。

高考数学考点题库/等差数列与等比数列/数列的性质

2023 年新高考I卷·第10题

多选题★★★★☆ 较难改编题通法

已知等差数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

，且

a_{1} > 0

，

S_{5} = S_{9}

，则（　　）

A.公差

d < 0

a_{7} = 0

S_{7}

最大

S_{14} = 0

答案ACD

分步解析

1由 $S_{9} = S_{5}$ 得 $a_{6} + a_{7} + a_{8} + a_{9} = 0$ ，即 $4 a_{1} + 26 d = 0$ ，化简为 $2 a_{1} + 13 d = 0$ 。
2A 对：由 $2 a_{1} = - 13 d$ 与 $a_{1} > 0$ 得 $d < 0$ 。
3B 错： $a_{7} = a_{1} + 6 d = - \frac{13 d}{2} + 6 d = - \frac{d}{2}$ ，因 $d < 0$ 故 $a_{7} > 0$ ，并不等于 $0$ 。
4C 对： $a_{8} = a_{1} + 7 d = \frac{d}{2} < 0$ ，即前 $7$ 项为正、从第 $8$ 项起为负，故 $S_{7}$ 最大。
5D 对： $S_{14} = \frac{14 ( a _{1} + a _{14} )}{2} = 7 (2 a_{1} + 13 d) = 0$ 。
6故选 ACD。

点评

S_{m} = S_{n}

（

m \neq = n

）等价于

a_{m + 1} + \dots + a_{n} = 0

，也等价于

S_{m + n} = 0

，这是等差数列最实用的一组等价条件。

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2023 年真题新高考I卷

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