在等差数列 a n 中，若 a 3 +a 7 =10 ，则 S 9 = （） 45 50 90 100 A 数列的性质等差数列下标和性质中项新课标I卷 2023

A 等差数列的下标和性质：若 m + n = p + q ，则 a m + a n = a p + a q 。由 3 + 7 = 2 × 5 得 a 3 + a 7 = 2 a 5 = 10 ，故 a 5 = 5 。前 n 项和的中项形式： S 9 = 2 9 ( a 1 + a 9 ) = 9 a 5 （因 a 1 + a 9 = 2 a 5 ）。故 S 9 = 9 × 5 = 45 ，选 A。

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2023 年新课标I卷·第7题

单选题★★★☆☆ 中档改编题巧法

在等差数列

{a_{n}}

中，若

a_{3} + a_{7} = 10

，则

S_{9} =

（　　）

45

50

90

100

答案A

分步解析

1等差数列的下标和性质：若 $m + n = p + q$ ，则 $a_{m} + a_{n} = a_{p} + a_{q}$ 。由 $3 + 7 = 2 \times 5$ 得 $a_{3} + a_{7} = 2 a_{5} = 10$ ，故 $a_{5} = 5$ 。
2前 $n$ 项和的中项形式： $S_{9} = \frac{9 ( a _{1} + a _{9} )}{2} = 9 a_{5}$ （因 $a_{1} + a_{9} = 2 a_{5}$ ）。
3故 $S_{9} = 9 \times 5 = 45$ ，选 A。

点评奇数项和的秒杀公式：

S_{2 k - 1} = (2 k - 1) a_{k}

。本题

S_{9} = 9 a_{5}

，不必求

a_{1}

与

d

。

#等差数列#下标和性质#中项

2023 年真题新课标I卷

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